* Kera osad

Kera lõikamisel tasandiga jaotub kera kaheks osaks, mida nimetatakse kera segmentideks (joon. 3.43). Lõike­tasandi ja kera ühis­osa nimetatakse segmendi põhjaks, põhja kesk­punktist sfäärini ulatuvat rist­lõiku aga segmendi kõrguseks.

Joon. 3.43

Kera lõikamisel kahe paralleelse tasandiga jaotub kera kolmeks osaks: kaheks segmendiks ja kahe tasandi vahele jäävaks kera kihiks (joon. 3.44). Kera kihti piiravaid ringe nimetatakse kihi põhjadeks ja kahe tasandi vahele jäävat kera pinna osa sfääri vööks. Kera kihi põhjade vahelist kaugust ja vastavat rist­lõiku nimetatakse kihi kõrguseks.

Joon. 3.44
Joon. 3.45

Kui kera segment ühendada segmendi põhja ja kera kesk­punktiga määratud koonusega, saame kera sektori (joon. 3.45).

TEOREEM. Kera segmendi ruumala avaldub valemiga Vsegm=πh2(r-h3), kus h on segmendi kõrgus ja r kera raadius.

Tõestus

Asetsegu kera segment tasandite x = r – h ja x = r vahel (joon. 3.46).

Joon. 3.46

Pöörd­keha ruumala valemi põhjal

V_{segm} = \pi\int_{r-h}^r\left(r^2-x^2\right)dx = πr2x-x33r-hr = \pi\left[r^3-\frac{r^3}{3}-r^2\left(r-h\right)+\frac{\left(r-h\right)^3}{3}\right] = \pi\left(-\frac{r^3}{3}+r^2h+\frac{r^3-3r^2h+3rh^2-h^3}{3}\right) = \pi\left(rh^2-\frac{h^3}{3}\right) = \pi h^2\left(r-\frac{h}{3}\right). ♦

Tuginedes pöörd­keha ruumala valemile saab tuletada ka kera kihi ja kera sektori ruumala valemid:

Vkiht=πh6(3r12+3r22+h2),

kus h on kihi kõrgus, r1 ja r2 kihi põhjade raadiused, ning

Vsektor=23πr2h,

kus h on sektori segmendi kõrgus ja r kera raadius.

Kera pinnale jääva segmendi ja kihi pindala ehk segmendi külg­pindala ja sfääri vöö pindala leitakse ühe­suguse valemiga

Ssegm=Svöö=2πrh,

kus r on kera raadius ja h segmendi (vöö) kõrgus. Kera segmendi ja kihi täis­pindala leidmiseks tuleb külg­pindalale liita vastavate põhjade pindalad. Kera sektori pindala leidmiseks tuleb liita vastava koonuse külg­pindala ja segmendi külg­pindala.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 810. Kera kihi ja sektori ruumala

Ülesanne 811. Kera segmendi põhja pindala ja ruumala

Vastus. S =  cm2; V =  cm3.

Ülesanne 812. Segmendi täis­pindala

Vastus. St =  cm2

Ülesanne 813. Kera ruumala, sfääri pindala

Vastus. See tasand jaotab kera ruumala suhtes  ja sfääri pindala suhtes .

Ülesanne 814. Kera segment

Vastus. V =  cm3

Ülesanne 815. Kera segmendid

Vastus. Tekkivate segmentide täis­pindalad on  ja  ning ruumalad  ja .

Ülesanne 816. Kera kihi ruumala ja vöö pindala

Vastus. Vkiht =  cm3; Svöö =  cm2.

Ülesanne 817. Kera kiht

Vastus. Nende tasandite vahele jääb % kerast.

Ülesanne 818. Kera kihi ruumala

Vastus. V =  dm3 või V =  dm3.

Ülesanne 819. Maa­kera paras­vööde

Vastus. Põhja­pool­keral on paras­vöötme pindala  km2 ja lõuna­pool­keral  km2. Paras­vööde moodustab % maa­kera pinnast.

Ülesanne 820. Kera sektori ruumala

Vastus. V =  dm3

Ülesanne 821. Kera alles­jääva osa ruumala

Vastus. V =  dm3

Ülesanne 822. Kera sektori täis­pindala ja ruumala

Vastus. St =  dm2, V =  dm3.

Ülesanne 823. Pöörd­keha ruumala

Vastus. V = 

Ülesanne 824. Kaksik­kumer lääts

Vastus. V =  cm3

Ülesanne 825. Kaksik­kumer lääts

Vastus. S =  cm2, V =  cm3.

Ülesanne 826. Kosmose­rakett

Vastus. Selles punktis on kosmose­raketist korraga näha % Maa pinnast.

Seotud sisu
Muud tegevused