Kera

Keraks nimetatakse pöördkeha, mis tekib ringi (või poolringi) pöörlemisel ümber diameetri.

Kera teljeks võib võtta ringi iga diameetri. Kui lõigata kera tasandiga, on lõikeks alati ring. Kera lõiget kera keskpunkti läbiva tasandiga nimetatakse kera suurringiks. Kera pinda nimetatakse sfääriks. Sfääri kõik punktid on võrdsel kaugusel kera keskpunktist. Sfääri mis tahes punkti kaugust kera keskpunktist ja vastavat lõiku nimetatakse kera raadiuseks.

TEOREEM. Kera ruumala avaldub valemiga $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ .

Tõestus

Vaatleme koordinaatteljestikus ringjoont võrrandiga x² + y² = r² (joon. 3.40). Selle ringi pöörlemisel ümber x-telje tekib kera, mille raadius on r.

Avaldame ringjoone võrrandist y² ja asetame selle pöördkeha ruumala valemisse, saame

V = \pi\int_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)dx = 2\pi\int_0^r\left(r^2-x^2\right)dx = $2 π {[r^{2} x - \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{r}$ = 2\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right) = \frac{4}{3}\pi r^3. ♦

Joon 3.40

Sfääri pindala (ehk ) S valemi tuletamiseks kasutame piirväärtuse mõistet. Kujutame ette, et oleme kera pinna katnud õhukese värvikihiga, mille paksus on Δr. Selle tulemusena on kera raadius suurenenud Δr võrra ja kera ruumala ΔV võrra (joon. 3.41). Kui laotaksime selle värvikihi mõttes tasandile, saaksime keha, mille põhja pindala on S ja kõrgus Δr.Järelikult on värvikihi ruumala ΔV ≈ SΔr ja siit S\approx\frac{\Delta V}{\Delta r}. Mida õhem on värvikiht, seda vähem erinevad teineteisest suurused S ja \frac{\Delta V}{\Delta r}.

Joon. 3.41

Saime, et kui \Delta r\to0, siis \frac{\Delta V}{\Delta r}\to S. Defineerime sfääri pindala järgmiselt.

Sfääri pindalaks nimetatakse kera ruumala muudu ja kera raadiuse muudu jagatise piirväärtust raadiuse muudu lähenemisel nullile: $S = lim_{Δ r \to 0} \frac{Δ V}{Δ r}$ .

Kera ruumala on kera raadiuse funktsioon: V = V (r). Arvestades funktsiooni tuletise definitsiooni, näeme, et sfääri pindala on funktsiooni V (r) tuletis. Järelikult,

S = V'\left(r\right) = \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)^' = 4\pi r^2ehk sfääri pindala avaldub valemiga

$S = 4 π r^{2}$ .

Sfääri pindala võrdub kera neljakordse suurringi pindalaga.

Näide.

Kerasse raadiusega 1 kujundatakse korrapärane kolmnurkne prisma. Leidke selle prisma maksimaalne võimalik ruumala.

Prisma kõik tipud asuvad kera pinnal. Olgu prisma põhja keskpunkti kaugus kera keskpunktist x (joon. 3.42). Kolmnurgast OAB saame: AB=\sqrt{1-x^2}. Et AB on kaks kolmandikku prisma põhja kõrgusest, AB=\frac{2}{3}h_p, siis põhja kõrgus h_p=\frac{3AB}{2}.

Olgu prisma põhiserv a, siis prisma põhjaks oleva võrdkülgse kolmnurga kõrgus h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}, millest

a = \frac{2h_p}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{1-x^2}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3\left(1-x^2\right)}.

Joon. 3.42

Et prisma kõrgus on 2x, siis prisma ruumala

V = S_ph = \frac{ah_p\cdot2x}{2} = \frac{3\sqrt{3}\left(1-x^2\right)x}{2} = \frac{3\sqrt{3}\left(x-x^3\right)}{2}.

Ruumala maksimumi leidmiseks leiame V' ja võrdsustame selle nulliga:

V' = \frac{3\sqrt{3}\left(1-3x^2\right)}{2}; \frac{3\sqrt{3}\left(1-3x^2\right)}{2}=0, millest x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.

Ülesande tingimustega sobib neist x=\frac{1}{\sqrt{3}}. Et teha kindlaks, kas kohal x=\frac{1}{\sqrt{3}} on ruumalal maksimum, leiame V'' ja V''\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right):

V'' = \frac{3\sqrt{3}\cdot\left(-6x\right)}{2} = -9\sqrt{3}x ja V''\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = –9 < 0.

Seega on vaadeldaval kohal ruumalal tõepoolest maksimum ja maksimaalne ruumala on

V = \frac{3\sqrt{3}\left(1-x^2\right)x}{2} = \frac{3\sqrt{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)}{2\sqrt{3}} = 1.

Vastus. Prisma maksimaalne ruumala on 1 ruumalaühik.

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 786. Kera ruumala ja pindala

Vastus. V = , S =

Ülesanne 787. Poolkera pindala

Vastus. S = cm²

Ülesanne 788. Kera raadius

Vastus. Sellise kera raadius on .

Ülesanne 789. Kera pindala ja ruumala

Mitu korda suureneb

kera pindala?
Vastus. korda
kera ruumala?
Vastus. korda

Ülesanne 790. Kera pindala ja ruumala

Mitu protsenti suureneb

kera pindala?
Vastus. %
kera ruumala?
Vastus. %

Ülesanne 791. Kuulid

Vastus. kuuli

Ülesanne 792. Kera lõikamine tasandiga

Vastus. Lõike pindala on cm².

Ülesanne 793. Kera lõikamine tasandiga

Vastus. Kera lõike ja suurringi pindalade suhe on .

Ülesanne 794. Metalli tihedus

Vastus. Metalli tihedus on \mathrm{\frac{g}{\mathrm{cm^3}}}.

Ülesanne 795. Tinakuul

Tina tihedus on \mathrm{7,3\ \frac{g}{\mathrm{cm^3}}}.

Vastus. Uue kuuli seina paksus on cm. Kuuli mass on kg.

Ülesanne 796. Õhupall

Vastus. Kangast kulub m.

Ülesanne 797. Maakera paralleel

Vastus. Selle paralleeli pikkus on km ja see läbib linna. Maakera pöörlemise tõttu läbib sellele linnale vastav punkt 1 tunni jooksul km.

Ülesanne 798. Kerade lõikejoone pikkus

Vastus. Kerade lõikejoone pikkus on dm.

Ülesanne 799. Jäätis

Vastus. Selles portsjonis on dl jäätist.

Ülesanne 800. Kuubi sisse ja ümber kujundatud kerad

pindade suhe.
Vastus. See suhe on .
ruumalade suhe.
Vastus. See suhe on .

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 801. Tasandi kaugus kera keskpunktist

Vastus. Selle kolmnurgaga määratud tasandi kaugus kera keskpunktist on cm.

Ülesanne 802. Tasandi kaugus kera keskpunktist

Vastus. Selle rombiga määratud tasandi kaugus kera keskpunktist on cm.

Ülesanne 803. Kera ja kuup

Vastus. Kõigi kerade pindalade summa on .

Ülesanne 804. Kera ja korrapärane kolmnurkne püramiid

Vastus. V =

Ülesanne 805. Kera ja silinder

Vastus. Selle silindri ruumala moodustab % kera ruumalast.

Ülesanne 806. Poolkera ja koonus

Vastus. Lõike selle osa pindala, mis jääb koonusest väljapoole, moodustab % koonuse põhja pindalast.

Ülesanne 807. Koonus ja kera

Vastus. r = cm

Ülesanne 808. Koonus, silinder ja kera

Vastus. V_koonus = cm³; V_silinder = cm³; V_kera = cm³.

Mitme protsendi võrra on silindri ruumala suurem kera ruumalast? Mitme protsendi võrra on kera ruumala väiksem silindri ruumalast?

Vastus. Silindri ruumala on % võrra suurem kera ruumalast. Kera ruumala on % võrra väiksem silindri ruumalast.

Ülesanne 809. Koonus, silinder ja kera

Vastus. S_koonus = cm²; S_silinder = cm²; S_kera = cm².

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Kera

Tõestus

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 786. Kera ruumala ja pindala

Ülesanne 787. Pool­kera pindala

Ülesanne 788. Kera raadius

Ülesanne 789. Kera pindala ja ruumala

Ülesanne 790. Kera pindala ja ruumala

Ülesanne 791. Kuulid

Ülesanne 792. Kera lõikamine tasandiga

Ülesanne 793. Kera lõikamine tasandiga

Ülesanne 794. Metalli tihedus

Ülesanne 795. Tina­kuul

Ülesanne 796. Õhu­pall

Ülesanne 797. Maa­kera paralleel

Ülesanne 798. Kerade lõike­joone pikkus

Ülesanne 799. Jäätis

Ülesanne 800. Kuubi sisse ja ümber kujundatud kerad

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 801. Tasandi kaugus kera kesk­punktist

Ülesanne 802. Tasandi kaugus kera kesk­punktist

Ülesanne 803. Kera ja kuup

Ülesanne 804. Kera ja korra­pärane kolm­nurkne püramiid

Ülesanne 805. Kera ja silinder

Ülesanne 806. Pool­kera ja koonus

Ülesanne 807. Koonus ja kera

Ülesanne 808. Koonus, silinder ja kera

Ülesanne 809. Koonus, silinder ja kera

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Ülesanne 787. Poolkera pindala

Ülesanne 795. Tinakuul

Ülesanne 796. Õhupall

Ülesanne 797. Maakera paralleel

Ülesanne 798. Kerade lõikejoone pikkus

Ülesanne 801. Tasandi kaugus kera keskpunktist

Ülesanne 802. Tasandi kaugus kera keskpunktist

Ülesanne 804. Kera ja korrapärane kolmnurkne püramiid

Ülesanne 806. Poolkera ja koonus