Sümbol arcsin m

Olgu antud siinuse väärtus m, mis täidab tingimust –1 ≤ m ≤ 1, sest sin α muutub just sellistes piirides. Kui nüüd antud m väärtuse järgi leida vastavat nurka α, siis leitakse see piir­konnast -\frac{\pi}{2}\le\mathrm{\alpha}\le\frac{\pi}{2}, sest selles piir­konnas saab sin α kõik­võimalikke väärtusi –1-st kuni 1-ni ja igat väärtust vaid üks kord (vt y = sin x graafikut, joonis 3.19). Peale selle asub piir­konnas -\frac{\pi}{2}\le\mathrm{\alpha}\le\frac{\pi}{2} absoluut­väärtuselt vähim nurk, mille siinus on m.

Nurka α, mis asub piir­konnas -\frac{\pi}{2}\le\mathrm{\alpha}\le\frac{\pi}{2} tähistatakse sümboliga arcsin m ja loetakse arkus­siinus m. Seega α = arcsin m, mis tähendab, et α on nurk, mille siinus on m.

Lühemalt:

arcsin m on absoluut­väärtuselt vähim nurk, mille siinus on m.

Definitsiooni kohaselt

sin (arcsin m) = m

ja

-π2≤arcsin m≤π2.

Näide 1.

Viimaste seoste põhjal on sin (arcsin 0,8) = 0,8, sin (arcsin (–0,406)) = –0,406.

Näide 2.

Leiame 1) arcsin 0,5 ja 2) arcsin (–1).

  1. Ilmselt \arcsin0,5=\frac{\pi}{6}, sest \sin\frac{\pi}{6}=0,5 ja -\frac{\pi}{2}\le\frac{\pi}{6}\le\frac{\pi}{2}.
  2. Analoogiliselt \arcsin\left(-1\right)=-\frac{\pi}{2}, sest \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 ja -\frac{\pi}{2}\le-\frac{\pi}{2}\le\frac{\pi}{2}.

Nurki arcsin m võib esitada ka kraadi­mõõdus. Siis on näite 2 tulemusteks arcsin 0,5 = 30° ja arcsin (–1) = –90°.

Suuruse arcsin m arvutamiseks on tasku­arvutil klahv arcsin või sin–1 või tuleb kasutada klahvi­kombinatsiooni arc sin või INV sin. Vastavalt vajadusele tuleb eelnevalt arvuti lülitada kraadi- või radiaan­mõõdu režiimile.

Näide 3.

Leiame arcsin 0,3647.

Olenevalt arvutist kasutame arvutusskeemi sin–1 0,3647 =, 0,3647 arcsin, 0,3647 sin–1, 0,3647 arc sin või 0,3647 INV sin.

Tulemusena saame ümardatult 0,3733, s.t arcsin 0,3647 ≈ 0,3733.

Tõepoolest, sin 0,3733 ≈ 0,3647.

Näide 4.

Leiame \cos\left(\arcsin\frac{2}{3}\right).

Kasutades tasku­arvutit võime esmalt leida nurga \arcsin\frac{2}{3} ja see­järel saadud nurga koosinuse: cos (arcsin (2 : 3)) ≈ 0,7454.

Tasku­arvutit kasutamata saame seda teha järgmiselt. Et \arcsin\frac{2}{3} on nurk, siis tähistame selle tähega α, s.t \mathrm{\alpha}=\arcsin\frac{2}{3}. Järelikult \sin\mathrm{\alpha}=\frac{2}{3}. Meil tuleb leida \cos\mathrm{\alpha}. Et -\frac{\pi}{2}\le\mathrm{\alpha}\le\frac{\pi}{2} ja \sin\mathrm{\alpha}>0, siis nurk α on esimese veerandi nurk ning

\cos\left(\arcsin\frac{2}{3}\right) = \cos\mathrm{\alpha} = \sqrt{1-\sin^2\mathrm{\alpha}} = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.

Näide 5.

Leiame sin (π + arcsin 0,9).

Tähistame arcsin 0,9 = α. Siis

sin (π + arcsin 0,9) = sin(π + α) = –sin α = –sin (arcsin 0,9) = –0,9.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded A

Ülesanne 725. arcsin m väärtuse leidmine

\arcsin\ 1 = 

\arcsin\ \frac{\sqrt{3}}{2} = 

\arcsin\ 0 = 

\arcsin\ 0,5 = 

\arcsin\ 0,5\sqrt{2} = 

\arcsin\ \left(-1\right) = 

\arcsin\ \left(-0,5\right) = 

\arcsin\ \left(-0,5\sqrt{3}\right) = 

\arcsin\ \left(-0,5\sqrt{2}\right) = 

Ülesanne 726. arcsin m väärtuse leidmine

\arcsin0,5073 ≈  rad ≈ 

\arcsin2 ≈  rad ≈ 

\arcsin\left(-0,982\right) ≈  rad ≈ 

\arcsin0,0076 ≈  rad ≈ 

\arcsin0,42 ≈  rad ≈ 

\arcsin\left(-0,2072\right) ≈  rad ≈ 

Ülesanne 727. Avaldise väärtuse leidmine

\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\arcsin\frac{1}{2} =  rad = 

\arcsin0,0227+\arcsin\left(-0,8908\right) =  rad = 

\arcsin1+\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} =  rad = 

\arcsin\left(-0,5\right)-\arcsin\left(-0,5\sqrt{2}\right) =  rad = 

Ülesanne 728. Võrrandi lahendamine

\arcsin x=\frac{\pi}{3}
x = 

\arcsin x=\frac{\pi}{2}
x = 

\arcsin x=-0,7854
x ≈ 

\arcsin x=0,5236
x ≈ 

\arcsin\left(x+1,2\right)=-\frac{\pi}{2}
x = 

\arcsin\left(2x-3\right)=\frac{5\pi}{36}
x ≈ 

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded B

Ülesanne 729. Avaldise väärtuse leidmine

\sin\left(\arcsin0,5\right) = 

\sin\left(\arcsin\left(-1\right)\right) = 

\cos\left(\arcsin0,8\right) = 

\cos\left(\arcsin\left(-0,6\right)\right) = 

\cos\left(\arcsin5\right) = 

\tan\left(\arcsin0,7\right) = 

\sin\left(\pi-\arcsin0,21\right) = 

\cos\left(2\pi-\arcsin0,11\right) = 

\tan\left(\pi+\arcsin0,3\right) = 

\sin\left(2\arcsin0,16\right) = 

Lisää aiheesta
Muut toiminnot