Siinus­funktsioon

Kursus „Funktsioonid”

10. klassist teame, et nurki mõõdetakse kraadi­mõõdus, kuid ka radiaan­mõõdus. Kuna radiaan on kesk­nurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele, siis siit järeldub, et 180° = π rad.

Nagu teame, vastab igale nurgale üks siinuse väärtus. Kui nurk x esitada radiaanides, siis vastab igale reaal­arvule x siinuse väärtus sin x. Tähistame viimase tähega y ja vaatame suurust x muutujana. Siis defineerib võrdus y = sin x funktsiooni, mida nimetatakse siinus­funktsiooniks.

Eelöeldust järeldub, et siinus­funktsiooni y = sin x

  1. määramis­piirkonnaks X on kogu reaal­arvude hulk R,
  2. muutumis­piirkonnaks Y aga lõik Y = [–1; 1], s.t –1 ≤ sin x ≤ 1 ehk |sin x| ≤ 1.

Seosest sin(–x) = –sin x järeldub, et

siinus­funktsioon on paaritu funktsioon.

Järelikult,

siinus­funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide algus­punkti suhtes.

Seosest sin (x + n · 2π) = sin x, kus n ∈ Z, järeldub, et sin x väärtused korduvad iga 2π järel. Seega võib funktsiooni y = sin x graafiku konstrueerida mingil lõigul pikkusega 2π, näiteks lõigul [0; 2π], ja see­järel jätkata samal viisil nii suures ulatuses kui vaja. Tulemuseks on siinus­funktsiooni graafik (joonis 2.52), mis kannab nime sinusoid.

Joon. 2.52

Et siinus­funktsiooni väärtused korduvad iga 2π järel, siis öeldakse, et

siinus­funktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2π.

Kõige lihtsam on konstrueerida siinus­funktsiooni graafikut aga arvuti abil, kasutades selleks näiteks programmi GeoGebra.

Graafikult on võimalik välja lugeda mitmeid siinus­funktsiooni omadusi.

  1. Siinus­funktsiooni null­kohtadeks on argumendi väärtused
    ​…, –2π, –π, 0, π, 2π, 3π, … ehk nπ, kus n ∈ Z.
  2. Siinus­funktsiooni positiivsus­piirkonna moodustavad vahemikud
    ​…, –2π < x < –π, 0 < x < π, 2π < x < 3π, … ehk X^+=\left(2n\pi;\ 2n\pi+\pi\right), kus n ∈ Z.
  3. Siinus­funktsiooni negatiivsus­piirkonna moodustavad vahemikud
    ​…, –π < x < 0, π < x < 2π, … ehk X^-=\left(-\pi+2n\pi;\ 2n\pi\right),kus n ∈ Z.
  4. Funktsiooni y = sin x kasvamis­vahemikud on
    ​…, -\frac{5\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{2}, … ehk X\uparrow=\left(-\frac{\pi}{2}+2n\pi;\ \frac{\pi}{2}+2n\pi\right), kus n ∈ Z.
  5. Funktsiooni y = sin x kahanemis­vahemikud on
    ​…, -\frac{3\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}, … ehk X\downarrow=\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi;\ \frac{3\pi}{2}+2n\pi\right), kus n ∈ Z.
  6. Funktsiooni y = sin x miinimum­kohad on
    ​…, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, … ehk \frac{3\pi}{2}+2n\pi, kus n ∈ Z.
  7. Funktsiooni y = sin x maksimum­kohad on
    ​…, -\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ... ehk \frac{\pi}{2}+2n\pi, kus n ∈ Z.

Näide 1.

Kasutades siinus­funktsiooni graafikut, leiame, 1) millise märgiga on sin 3,5 väärtus ja 2) kumb on suurem, kas sin 2 või sin 3.

  1. Et π < 3,5 < 2π, s.t 3,5 kuulub funktsiooni y = sin x negatiivsus­piirkonda (vt joon. 2.52), siis on sin 3,5 väärtus negatiivne.
  2. Et 0,5\pi<2<3<\pi, s.t argumendi väärtused kuuluvad siinus­funktsiooni kahanemis­vahemikku (vt joon. 2.52), siis sin 2 > sin 3.

Näide 2.

Lahendame võrrandi \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Joonestame siinus­funktsiooni graafiku ja sirge y=-\frac{\sqrt{3}}{2} (joonis 2.53). Võrrandi lahendeiks on nende joonte lõike­punktide abstsissid. Et \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, siis punktide A ja B abstsissid on vastavalt \pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3} ja 2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.

Joon. 2.53

Meid huvitavad lõike­punktid korduvad iga 2π järel. See­tõttu on joonisel näha ka lahendid \frac{4\pi}{3}-2\pi=-\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}-2\pi=-\frac{\pi}{3} ja \frac{4\pi}{3}+2\pi=\frac{10\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}+2\pi=\frac{11\pi}{3}.

More like this
More options

Ülesanded

x väärtus

x=\frac{\pi}{4}

x=\frac{\pi}{3}

x=-\frac{\pi}{2}

x=\frac{4\pi}{27}

Funktsiooni väärtus

x väärtus

x=\frac{8\pi}{45}

x=-\frac{5\pi}{16}

x=2,25

x=-0,07

Funktsiooni väärtus

Vastus. x = , kus n ∈ Z.

\sin x=\frac{1}{2}

Vastus. ..., , , , ... ja ..., , , , ... ehk x1 =  ja x2 = , n ∈ Z.

\sin x=1

Vastus. ..., , , , ... ehk x = , n ∈ Z.

\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Vastus. ..., , , , ... ja ..., , , , ... ehk x1 =  ja x2 = , n ∈ Z.

\sin x=-1

Vastus. ..., , , , ... ehk x = , n ∈ Z.

Avaldis

Avaldise märk

\sin5

\sin\left(-3\right)

\sin\left(-1\right)

\sin7

Avaldis

Avaldise märk

\sin\frac{3\pi}{8}

\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)

\sin\left(-\frac{7\pi}{10}\right)

\sin\frac{7\pi}{10}

\sin4,2  \sin1,8

\sin\left(-4,5\right)  \sin\left(-3,8\right)

\sin\frac{3\pi}{4}  \sin\frac{4\pi}{3}

\sin2\pi  \sin\frac{7\pi}{4}

y = 3 + 4sin x

Vastus. Sellel funktsioonil on maksimum, kui x = , n ∈ Z ja miinimum, kui x = , n ∈ Z. y_{\max} =  ja y_{\min} = .

y = 2 – sin x

Vastus. Sellel funktsioonil on maksimum, kui x = , n ∈ Z ja miinimum, kui x = , n ∈ Z. y_{\max} =  ja y_{\min} = .

y = 0,75 sin x

Vastus. Sellel funktsioonil on maksimum, kui x = , n ∈ Z ja miinimum, kui x = , n ∈ Z. y_{\max} =  ja y_{\min} = .

y = sin2 x

Vastus. Sellel funktsioonil on maksimum, kui x = , n ∈ Z ja miinimum, kui x = , n ∈ Z. y_{\max} =  ja y_{\min} = .

Ülesanne 349.1 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas siinus­funktsiooni oluliste punktide järgi. Loomulikult võib graafiku joonistada ka arvuti abil.

y=2\sin x, -\pi\le x\le2\pi

Ülesanne 349.2 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas siinus­funktsiooni oluliste punktide järgi. Loomulikult võib graafiku joonistada ka arvuti abil.

y=0,5\sin x, -\pi\le x\le2\pi

Ülesanne 349.3 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas siinus­funktsiooni oluliste punktide järgi. Loomulikult võib graafiku joonistada ka arvuti abil.

y=1+\sin x, 0\le x\le3\pi

Ülesanne 349.4 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas siinus­funktsiooni oluliste punktide järgi. Loomulikult võib graafiku joonistada ka arvuti abil.

y=\sin x-2, 0\le x\le2\pi

Ülesanne 349.5 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas siinus­funktsiooni oluliste punktide järgi. Loomulikult võib graafiku joonistada ka arvuti abil.

y=-\sin x, 0\le x\le4\pi

Ülesanne 349.6 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas siinus­funktsiooni oluliste punktide järgi. Loomulikult võib graafiku joonistada ka arvuti abil.

y=2-\sin x, 0\le x\le4\pi

y=2\sin x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X_0 = 

y=0,5\sin x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X_0 = 

y=1+\sin x, 0\le x\le3\pi

Vastus. X_0 = 

y=\sin x-2, 0\le x\le2\pi

Vastus. X_0 = 

y=-\sin x, 0\le x\le4\pi

Vastus. X_0 = 

y=2-\sin x, 0\le x\le4\pi

Vastus. X_0 = 

y=2\sin x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=0,5\sin x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=1+\sin x, 0\le x\le3\pi

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=\sin x-2, 0\le x\le2\pi

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=-\sin x, 0\le x\le4\pi

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=2-\sin x, 0\le x\le4\pi

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=2\sin x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = , E_{\max}, E_{\min} ja E_{\min}.

y=0,5\sin x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = , E_{\max}, E_{\min} ja E_{\min}.

y=1+\sin x, 0\le x\le3\pi

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = , E_{\max} ja E_{\max}, E_{\min}.

y=\sin x-2, 0\le x\le2\pi

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = , E_{\max}, E_{\min}.

y=-\sin x, 0\le x\le4\pi

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = , X_3\downarrow = , E_{\max} ja E_{\max}, E_{\min} ja E_{\min}.

y=2-\sin x, 0\le x\le4\pi

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = , X_3\downarrow = , E_{\max} ja E_{\max}, E_{\min} ja E_{\min}.

More like this
More options