Koosinus­funktsioon

Kursus „Funktsioonid”

Analoogiliselt siinus­funktsiooniga saab rääkida ka koosinus­funktsioonist, s.t funktsioonist y = cos x. Siin vastab igale reaal­arvule x (radiaanides esitatud nurgale) üks reaal­arvuline koosinuse väärtus y.

Seega koosinus­funktsiooni y = cos x

  1. määramis­piirkonnaks on kogu reaal­arvude hulk, s.t X = R;
  2. muutumis­piirkond on Y = [–1; 1], s.t –1 ≤ cos x ≤ 1 ehk |cos x| ≤ 1.

Seosest cos (–x) = cos x järeldub, et

koosinus­funktsioon on paaris­funktsioon

ning järelikult

koosinus­funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes.

Et cos (x + n · 2π) = cos x, siis järelikult korduvad koosinus­funktsiooni väärtused iga 2π järel. Järelikult, ka

koosinus­funktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2π.

Koosinus­funktsiooni graafikuks (joon. 2.54) on samuti sinusoid, kuid võrreldes siinus­funktsiooni graafikuga on sinusoidi nihutatud teljestikus \frac{\pi}{2} võrra vasakule (ehk koordinaat­teljestiku y-telge on nihutatud \frac{\pi}{2} võrra paremale).

Joon. 2.54

Näide 1.

Jooniselt 2.54 näeme, et \cos\left(-3\right)<\cos\left(-1\right), sest argumendi väärtused –3 ja –1 kuuluvad koosinus­funktsiooni ühte kasvamis­vahemikku: -\pi<-3<-1<0.

Näide 2.

Selgitame, millise märgiga on \cos\left(-5,8\right).

Et argumendi x väärtus –5,8 kuulub koosinus­funktsiooni positiivsus­piirkonda (joon. 2.54)

-2,5\pi\approx-7,85<-5,8<-1,5\pi\approx-4,71, siis \cos\left(-5,8\right)>0.

Näide 3.

Kasutades koosinus­funktsiooni graafikut, lahendame võrrandi \cos x=0,5.

Joonestame koosinus­funktsiooni graafiku ning sirge y=0,5 (joonis 2.55). Võrrandi \cos x=0,5 lahendiks on nende joonte lõike­punktide abstsissid.

Joon. 2.55​

Et \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=0,5, siis on punktide A ja B abstsissid vastavalt -\frac{\pi}{3} ja \frac{\pi}{3}. Kuna meid huvitavad punktid korduvad iga 2π järel, siis on võrrandi \cos x=0,5 lahendid

…, -\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, … ja -\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, …

ehk argumendi väärtused

x_1=-\frac{\pi}{3}+2n\pi ja x_2=\frac{\pi}{3}+2n\pi, kus n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Argumendi väärtus

x=\frac{\pi}{6}

x=\frac{\pi}{2}

x=-\frac{\pi}{6}

x=\frac{9\pi}{10}

Funktsiooni väärtus

Argumendi väärtus

x=\frac{17\pi}{6}

x=-\frac{113\pi}{14}

x=2,04

x=-3

Funktsiooni väärtus

Joon. 2.54
  1. positiivsus- ja negatiivsus­piirkond.
    Vastus. X^+ = , X^- = 
  2. kasvamis- ja kahanemis­vahemikud.
    Vastus. X_n\uparrow = , X_n\downarrow = 

Vastus. x0 = , kus n ∈ Z.

Joon. 2.54

Vastus. Koosinus­funktsiooni ekstreemum­kohad on x_{\max} =  ja x_{\min} = .

Avaldis

Avaldise märk

\cos8

\cos\left(-5\right)

\cos1

\cos0,625\pi

\cos\left(-3\right)

\cos0,8  \cos1,8

\cos\left(-\pi\right)  \cos\left(-2\pi\right)

\cos8  \cos6,4

\cos\left(-5\right)  \cos3

Ülesanne 359.1 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas.

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Ülesanne 359.2 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas.

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Ülesanne 359.3 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas.

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ülesanne 359.4 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas.

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X_0 = 

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Vastus. X_0 = 

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X_0 = 

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X_0 = 

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = 

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Vastus. X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = 

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = 

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = 

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. Maksimum­punktid on  ja  ning miinimum­punktid on  ja .

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Vastus. Maksimum­punkt on  ning miinimum­punkt on .

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. Maksimum­punktid on  ja  ning miinimum­punkt on .

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. Maksimum­punktid on  ja  ning miinimum­punkt on .

y=3+4\cos x

Vastus. Funktsioonil on suurim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on  ning vähim väärtus argumendi väärtusel   n ∈ Z ja see on .

y=1-\cos x

Vastus. Funktsioonil on suurim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on  ning vähim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on .

y=1,5\cos x

Vastus. Funktsioonil on suurim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on  ning vähim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on .

y=\cos^2x

Vastus. Funktsioonil on suurim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on  ning vähim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on .

Seotud sisu
Muud tegevused