Logaritm­võrrand

Kursus „Funktsioonid”

Logaritm­võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb vaid logaritmitavas või logaritmi aluses.

Näide 1.

Logaritm­võrrandid on

\log_2x=4,

\log_3\left(2x^2-23\right)=2,

\ln0,05x=-2,

\log_{x-1}27=3.

Logaritm­võrrandi lahendamisel teisendatakse võrrand kujule

\log_af\left(x\right)=c   või   \log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right),

millest logaritmi definitsiooni põhjal või potentseerimise teel saadakse vastavalt võrrand

f\left(x\right)=a^c   või   f\left(x\right)=g\left(x\right).

Pärast saadud võrrandi lahendamist tuleb muutuja x leitud väärtusi kontrollida, sest näiteks potentseerimisel võib võõr­lahendeid juurde tulla.

Näide 2.

Lahendame näites 1 esitatud võrrandid:

  1. Logaritmi definitsiooni järgi saame võrrandist \log_2x=4, et x=2^4=16, mis osutub ka lahendiks, sest \log_22^4=4\log_22=4\cdot1=4.
  2. Kui \log_3\left(2x^2-23\right)=2, siis 2x^2-23=3^2 ehk 2x^2=32, millest x^2=16 ja x_1=4, x_2=-4. Veenduge, et need on võrrandi lahendid.
  3. Võrrandist \ln0,05x=-2 saame, et 0,05x=e^{-2}, millest x=20e^{-2}. See osutub ka võrrandi lahendiks.
  4. Et \log_{x-1}27=3, siis \left(x-1\right)^3=27, millest x-1=\sqrt[3]{27}ja x=4. Veenduge, et x=4 on võrrandi lahend.

Näide 3.

Lahendame võrrandi \log_5\left(x-3\right)+\log_5\left(x+3\right)-\log_5\left(x+1\right)=1.

Lihtsustades võrrandi vasakut poolt, saab võrrand kuju

\log_5\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x+1}=1 ehk \log_5\frac{x^2-9}{x+1}=1.

Logaritmi definitsiooni põhjal

\frac{x^2-9}{x+1}=5, millest x^2-5x-14=0. Siit x_1=-2 ja x_2=7.

Kontrollime saadud lahendeid. Et x=-2 korral muutub lähte­võrrandis osa logaritmitavaid negatiivseteks, siis –2 ei ole antud võrrandi lahendiks. Seevastu x=7 on võrrandi lahend, sest \log_5\left(7-3\right)+\log_5\left(7+3\right)-\log_5\left(7+1\right) = \log_54+\log_510-\log_58 = \log_5\left(4\cdot10\ :\ 8\right) = \log_55 = 1.

Vastus. x=7.

Logaritm­võrrand võib kujutada endast ka meile juba tuttavat algebralist võrrandit avaldise \log_af\left(x\right) suhtes.

Näide 4.

Lahendame võrrandi \log_3^2\ x-6\log_3x+8=0.

Et võrrandi võime kirjutada kujul \left(\log_3x\right)^2-6\left(\log_3x\right)+8=0, siis on ilmselt tegemist ruut­võrrandiga \log_3x suhtes. Seega

\log_3x=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}=\frac{6\pm2}{2}=3\pm1,

millest \log_3x=2\ või \log_3x=4. Neist võrranditest x_1=3^2=9, x_2=3^4=81.

Kontrollime lahendeid:

  1. \log_3^2\ 9-6\log_39+8=2^2-6\cdot2+8=0
  2. \log_3^2\ 81-6\log_381+8=4^2-6\cdot4+8=0

Vastus. x_1=9 ja x_2=81.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

\log_2x=4
x = 

\log_3\left(2x^2-23\right)=2
x =  või x = 

\log_x16=4
x = 

\log_{x-1}27=3
x = 

\log_x8=\frac{1}{2}
x = 

\log_{x-1}\left(2-2x\right)=2
x = 

\log_4x=0
x = 

\log_{x+1}x^2=0
x = 

\log x=\log5
x = 

\log8x=\log13
x = 

\log\left(x+4\right)=\log2
x = 

\log\left(2x-5\right)=\log7
x = 

\log x=-\log3
x = 

\log x=-\log0,8
x = 

\log\left(x-0,2\right)=-\log5
x = 

\log\left(8-3x\right)=-\log11
x = 

\log x+\log\left(x+1\right)=\log6
x = 

\log_3\left(x-4\right)+\log_3\left(x+2\right)=\log_37
x = 

\log x+\log\left(2x-3\right)=\frac{1}{2}\log x^2
x = 

\log\left(x+8\right)-\log\left(x-6\right)=\log4,5
x = 

\log_4^2\ x+\log_4x-6=0
x1 = , x2 = 

3\log^2x-5\log x+2=0
x1 = , x2 = 

2\ln^2x+5\ln x-3=0
x1 = , x2 = 

\log_x^2\ 16+2\log_x16-8=0
x1 = x2 = 

Seotud sisu
Muud tegevused