Funktsiooni ekstreemumid

Ülesanne 976. Aia rajamine

Tähistame aia pikkuse ja pindala vastavalt tähtedega x ja y (joonis 5.12). Et aia laius on 100 – x, siis avaldub aia pindala y muutuja x funktsioonina järgmiselt: y = x(100 – x).

Joon. 5.12

Seega taandub antud ülesanne argumendi nende väärtuste leidmisele, mille korral vaadeldaval funktsioonil on maksimaalne väärtus. Kuidas neid leida?

NB!

Ekstreemum on ühine nimetus maksimumile ja miinimumile.

Ekstreemum ye on funktsiooni väärtus.

Ekstreemum­koht xe on argumendi väärtus.

Ekstreemum­punkt on punkt, mille koordinaadid on ekstreemum­koht ja ekstreemum.

Jooniselt 5.13 (a ja b) näeme, et kui diferentseeruval funktsioonil on kohal x0 maksimum või miinimum, siis on tema graafiku puutuja sellel kohal paralleelne x-teljega, s.t f ′(x0) = 0. Samas selgub, et tuletis võib olla võrdne nulliga ka kohal, kus funktsioonil pole ekstreemumit (joonis 5.13c).

Seega

funktsioonil y = f (x) võib ekstreemum olla kohal, kus tema tuletis on võrdne nulliga.

Joon. 5.13

Veel näeme samalt jooniselt (d ja e), et

funktsioonil y = f (x) võib ekstreemum olla ka kohal, kus tal tuletis puudub.

Mis on aga vältimatult vajalik selleks, et tuletise null­koht või argumendi see väärtus, kus tuletis puudub, oleks funktsiooni ekstreemum­koht? Jooniselt 5.13 (a, b, d ja e) nähtub, et kohal, kus funktsioonil on ekstreemum, läheb kasvamine üle kahanemiseks või kahanemine üle kasvamiseks, s.t funktsiooni tuletis muudab ekstreemum­kohal märki.

Seega tuleb funktsiooni y = f (x) ekstreemum­kohtade leidmiseks välja selgitada funktsiooni tuletise null­kohad ja kohad, kus tuletis puudub.

Kui leitud kohal funktsiooni tuletis muudab märki, siis on tegemist ekstreemum­kohaga.

Kui kasvamine läheb leitud kohal üle kahanemiseks, on antud koht maksimum­koht, vastasel juhul aga miinimum­koht.

Kui leitud kohal tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil pole sellel kohal ekstreemumit.

Sageli on tarvis leida funktsiooni suurim või vähim väärtus ette­antud lõigus. Taolistel juhtudel tuleb silmas pidada veel seda, et lõigus määratud funktsioonil võib ekstremaalne väärtus olla ka lõigu ots­punktides (joonis 5.14).

Joon. 5.14

Seega juhul, kui funktsiooni ekstreemumit otsitakse mingis lõigus, tuleb lisaks ekstreemum­kohtadele vaatluse alla võtta ka vaadeldava lõigu ots­punktid. Kõigi nende argumendi väärtuste korral arvutatakse funktsiooni vastavad väärtused ja viimaste seast leitakse siis vastavalt vajadusele kas suurim või vähim.

Näide 1.

Leiame funktsiooni y=x^3+6x^2-15x+1 ekstreemumid.

Leiame esmalt funktsiooni kõik ekstreemum­kohad vahemikust (–∞; ∞). Et vaadeldav funktsioon on selles vahemikus diferentseeruv, siis võivad tema ekstreemumid olla vaid tuletise null­kohtades.

Võrrandist \left(x^3+6x^2-15x+1\right)^'=0 saame, et x^2+4x-5=0 ja x_1=-5 ning x_2=1.

Joon. 5.15

Skitseerides tuletise märgi muutused joonisel (joonis 5.15), näeme, et funktsioonil y=x^3+6x^2-15x+1 on kohal x_1=-5 maksimum ja kohal x_2=1 miinimum.

Lõpuks leiame funktsiooni ekstreemumid, s.o (–5) ja (1):

y\left(-5\right) = \left(-5\right)^3+6\cdot\left(-5\right)^2-15\cdot\left(-5\right)+1 = 101,
y\left(1\right) = 1^3+6\cdot1^2-15\cdot1+1 = -7​.

Vastus. Funktsioonil y=x^3+6x^2-15x+1 on kohal x_1=-5 maksimum y_1=101 ja kohal x_2=1 miinimum y_2=-7.

Näide 2.

Leiame funktsiooni y=x^2-8x+15 suurima ja vähima väärtuse lõigus [2; 7].

Ekstreemum­kohti otsime nüüd funktsiooni tuletise null­kohtades ja antud lõigu ots­punktides. Lahendame esmalt võrrandi y' = 0. Võrrandist

2x – 8 = 0 saame, et x = 4.

Kontrollime nüüd, kas argumendi saadud väärtus kuulub lõiku [2; 7]. Vastus on jaatav. Eitava vastuse korral jääks see väärtus edasiste vaatluste alt välja. Leiame see­järel funktsiooni väärtused tuletise null­kohas ja lõigu [2; 7] ots­punktides. Et y (4) = –1, y (2) = 3 ja y (7) = 8, siis on funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud lõigus vastavalt 8 ja –1.

Vastus. Funktsioon y=x^2-8x+15 suurim ja vähim väärtus lõigus [2; 7] on vastavalt 8 ja –1.

Näide 3.

Lahendame lõpuni ülesande 976.

Antud juhul otsime ekstreemum­kohta funktsiooni y=x\left(100-x\right) tuletise null­kohtades. Selleks lahendame võrrandi y' = 0.

Võrrandist

\left(100x-x^2\right)^'=0 saame, et 100-2x=0 ja x=50.

Et funktsioon y = x(100 – x) on x < 50 korral kasvav (y' > 0) ja x > 50 korral kahanev (y' < 0), siis on tal sellel kohal maksimum. Siit näemegi, et vaadeldaval funktsioonil on kohal x = 50 maksimum.

Vastus. Aed tuleb teha ruudu­kujuline 50 m pikkuse küljega.

Näide 4.

Leiame funktsiooni y = x2 – 2|x| kõik ekstreemumid lõigus [–3; 4].

Antud funktsiooni võime esitada kujul

y=x2+2x, kui -3x0x2-2x, kui 0x4, millest y'=2x+2, kui -3<x<02x-2, kui 0<x<4.

Et funktsioon yx2 – 2|x| on pidev lõigus [–3; 4] ja tal puudub tuletis kohal x = 0 (tuletis­funktsioon on sellel kohal katkev, vt joon. 5.16), siis otsime ekstreemum­kohti tuletise null­kohtades, lõigu [–3; 4] ots­punktides ja kohal, kus funktsioonil tuletis puudub. Seega xe ∈ {–3; –1; 0; 1; 4}.

Joon. 5.16
Joon. 5.17

Jälgides funktsiooni tuletise märgi­muutusi ja funktsiooni väärtusi võimalikes ekstreemum­kohtades (joonised 5.16 ja 5.17) saame, et vaadeldaval funktsioonil on maksimum kohtadel x1 = –3, x2 = 0 ja x3 = 4 ning miinimum kohtadel x4; 5 = ±1. Seega, maksimumid on y (–3) = 3, y (0) = 0, y (4) = 8 ja miinimumid on y (±1) = –1.

Vastus. Funktsioonil y = x2 – 2|x| on lõigus [–3; 4] kolm maksimumi 3; 0 ja 8 ning kaks miinimumi, kumbki –1.

Ülesanded A

Ülesanne 977. Funktsiooni ekstreemum­kohad ja ekstreemumid

y=2x^2-5x-12

Vastuspunkt on .

y=-3x^2+x-5

Vastuspunkt on .

y=x^3-5x^2+3x-5

Vastus. Miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt on .

y=2x^3-15x^2+36x-24

Vastus. Miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt on .

y=x^4-2x^2-5

Vastus. Miinimum­punktid on  ja  ning maksimum­punkt on .

y=x^5-5x^4+5x^3+1

Vastus. Miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt on .

Ülesanne 978. Auto bensiini­kulu

Vastus. Siis tuleks sõita kiirusega  \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.

Ülesanne 979. Nakkus­haiguse levimine

Vastus. Nakkus saavutab maksimumi . öö­päeval. Sellel päeval on haigestunud % elanikest.

Ülesanne 980. Nõudlus teatud toote järele

Nõudlus teatud toote järele muutub vastavalt seadusele N\left(t\right)=100+5t^2-\frac{t^3}{3}, kus N(t) on toodet nõudvate inimeste arv t-ndal päeval.

Mitmendal päeval on nõudlus selle toote järele suurim ja kui suur see siis on?

Vastus. Nõudlus selle toote järele on suurim . päeval, mil see on .

Ülesanne 981. Punkti liikumine mööda sirget

Punkt liigub mööda sirget vastavalt seadusele s\left(t\right)=12t^2-\frac{2}{3}t^3 (mõõt­ühikud on meeter ja sekund), kus 4 ≤ t ≤ 10.

  • Leidke hetk, millal selle punkti liikumise kiirus on suurim.
    Vastus. Punkti liikumise kiirus on suurim, kui t.
  • Võrrelge saadud kiirust punkti kiirustega aja­hetketel t = 4 ja t = 10. Milline neist kolmest on suurim?

Ülesanded B

Ülesanne 982. Funktsiooni ekstreemum­kohad ja ekstreemumid

y=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}

Vastus. Miinimum­punktid on  ja maksimum­punktid on .

y=2\cos^2\frac{x}{2}

Vastus. Miinimum­punktid on  ja maksimum­punktid on .

y=x^2+\ln x

Vastus. Miinimum­punkt  ja maksimum­punkt .

y=x^3+6\ln x

Vastus. Miinimum­punkt  ja maksimum­punkt .

y=x^2e^x

Vastus. Miinimum­punkt on ja maksimum­punkt on .

y=x^2\ln x

Vastus. Miinimum­punkt on ja maksimum­punkt .

y = ln x, x > 0

Ülesanne 983. Ekstreemumid antud lõigus

y=x^4-32x+8, kui x\in\left[-1;\ 3\right]

Vastus. Selle funktsiooni ekstreemumid antud lõigus on .

y=3x^5-5x^3+3, kui x\in\left[-3;\ 3\right]

Vastus. Selle funktsiooni ekstreemumid antud lõigus on .

y=\frac{x^2+4}{x}, kui x\in\left[1;\ 4\right]

Vastus. Selle funktsiooni ekstreemumid antud lõigus on .

y=\sin x\cos x, kui x\in\left[0,5\pi;\ \pi\right]

Vastus. Selle funktsiooni ekstreemumid antud lõigus on .

Ülesanne 984. Funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud lõigus

y=1-x+2x^2-x^3, kui x\in\left[0;\ 4\right]

Vastus. Funktsiooni suurim väärtus selles lõigus on  ja vähim väärtus on .

y=-x^4+2x^2-1, kui x\in\left[-2;\ 1\right]

Vastus. Funktsiooni suurim väärtus selles lõigus on  ja vähim väärtus on .

Ülesanne 985. Funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud lõigus

y=x^2-\left|x\right|, kui x\in\left[-2;\ 3\right]

Vastus. Funktsiooni suurim väärtus selles lõigus on  ja vähim väärtus on .

y=\left|x\right|-0,5x^2, kui x\in\left[-3;\ 4\right]

Vastus. Funktsiooni suurim väärtus selles lõigus on  ja vähim väärtus on .

y=x\left|x+1\right|, kui x\in\left[-2;\ 3\right]

Vastus. Funktsiooni suurim väärtus selles lõigus on  ja vähim väärtus on .

y=\left|x^2-1\right|, kui x\in\left[-3;\ 2\right]

Vastus. Funktsiooni suurim väärtus selles lõigus on  ja vähim väärtus on .

Ülesanne 986. Parameetri väärtus

Vastus. a

Ülesanne 987. Parameetrite väärtused

Vastus. a; b

Ülesanne 988. Parameetrite väärtused

Vastus. a; b

Ülesanne 989. Parameetri väärtus

Vastus. a ∈