Funktsiooni kasvamine ja kahanemine

Nägime, et informatsiooni funktsiooni käitumisest (kasvamine, kahanemine, ekstreemumid jne) mingis piir­konnas saab leida ka kasutamata arvuti abi. Selle ülesandega tuleme edukalt ja sageli oluliselt täpsemalt toime ka siis, kui teame vaid funktsiooni esitavat valemit ja oskame rakendada funktsiooni tuletist. Tutvumegi järgnevas selliste ülesannetega.

Olgu funktsioon f (x) diferentseeruv mingis vahemikus (a; b), s.t funktsioonil f (x) on iga x ∈ (a; b) korral tuletis f '(x). See tuletis võib olla kas positiivne, negatiivne või null. Kui 1) f '(x) > 0, siis moodustab funktsiooni graafiku puutuja abstsiss­telje positiivse suunaga terav­nurga, kui 2) f '(x) < 0, siis nüri­nurga ja kui 3) f '(x) = 0, siis on graafiku puutuja paralleelne abstsiss­teljega.

Joon. 5.10

Jooniselt 5.10a näeme, et kui iga x ∈ (a; b) korral moodustab funktsiooni graafiku puutuja abstsiss­telje positiivse suuna suhtes terav­nurga, siis on see funktsioon vahemikus (a; b) kasvav. Kui aga iga x ∈ (a; b) korral on see nurk nüri­nurk, siis on funktsioon vahemikus (a; b) kahanev (joonis 5.10b). Seega,

kui f '(x) > 0 vahemikus (a; b), siis on funktsioon selles vahemikus kasvav;

kui f '(x) < 0 vahemikus (a; b), siis on funktsioon selles vahemikus kahanev.

Küsime nüüd, kas ülal­toodud tingimus on vältimatult vajalik, s.o tarvilik selleks, et funktsioon oleks antud vahemikus kasvav (kahanev). Seega küsime, kas selleks, et funktsioon oleks mingis vahemikus kasvav (kahanev), peab tema tuletis selle vahemiku igas punktis tingimata olema positiivne (negatiivne). Jooniselt 5.10 näeme, et funktsioon võib olla vahemikus (a; b) kasvav (kahanev) ka juhul, kui mingi x korral sellest vahemikust f '(x) = 0 (joonis 5.10c) või see tuletis puudub üldse (joonis 5.10d).

Nii­siis, selleks et leida funktsiooni kasvamis- ja kahanemis­vahemikke, tuleb lahendada vastavalt kas võrratus f '(x) > 0 või f '(x) < 0. Nende võrratuste lahendi­hulgad ühtivadki üld­juhul funktsiooni f (x) kasvamis- ja kahanemis­vahemikkudega.

Kui funktsiooni tuletis mingi x korral puudub või on võrdne nulliga, siis tuleb selgitada, kas sellel kohal toimub kasvamise üle­minek kahanemiseks või vastu­pidi. Kui ei, siis loetakse ka see argumendi väärtus vastavalt kas siis kasvamis- või kahanemis­vahemikku kuuluvaks.

Näide 1.

Leiame funktsiooni y=2x^3+1 kasvamis- ja kahanemis­vahemikud.

Selleks lahendame võrratused y' > 0 ja y' < 0.

Leiame funktsiooni tuletise: y'=6x^2.

Võrratusest 6x^2>0 saame, et funktsioon kasvab vahemikes (–∞; 0) ja (0; ∞).

Kuna kohal x = 0 on funktsiooni tuletis võrdne nulliga, siis kontrollime, kas sellel kohal toimub kasvamise üle­minek kahanemiseks. Kuna seda ei toimu, loeme ka x = 0 kuuluvaks kasvamis­vahemikku. Seega antud funktsioon kasvab vahemikus (–∞; ∞) ehk kogu oma määramis­piirkonnas.

Näide 2.

Selgitame, kas argumendi väärtus x0 = 1 kuulub funktsiooni y=x^3-12x kasvamis- või kahanemis­vahemikku.

Määrame antud funktsiooni tuletise märgi kohal x0 = 1. Et y'=3x^2-12 ja y'\left(1\right)=3\cdot1^2-12=-9<0, siis argumendi väärtus x0 = 1 kuulub antud funktsiooni kahanemis­vahemikku.

Vastus. Argumendi väärtus x0 = 1 kuulub funktsiooni y=x^3-12x kahanemis­vahemikku.

Näide 3.

Leiame funktsiooni y=2x^3-54x kasvamis- ja kahanemis­vahemikud.

Selleks lahendame võrratused y' > 0 ja y' < 0.

Leiame funktsiooni tuletise: y'=6x^2-54.

Võrratusest 6x^2-54>0 saame, et vaadeldav funktsioon kasvab vahemikes (–∞; –3) ja (3; ∞) (joonis 5.11).

Joon. 5.11

Analoogiliselt, võrratusest 6x^2-54<0 saame, et funktsioon y=2x^3-54x kahaneb vahemikus (–3; 3).

Vastus. Funktsioon y=2x^3-54x kasvab vahemikes (–∞; –3) ja (3; ∞) ning kahaneb vahemikus (–3; 3).

Näide 4.

Leiame funktsiooni y=\left(2x-6\right)^3 kasvamis­vahemikud.

Et y'=6\left(2x-6\right)^2, siis tuleb lahendada võrratus 6\left(2x-6\right)^2>0. Antud võrratust rahuldavad kõik reaal­arvud välja arvatud arv 3. Seega võime väita, et vaadeldav funktsioon kasvab vahemikes (–∞; 3) ja (3; ∞). Nagu märgitud, võib ka tuletise null­koht kuuluda funktsiooni kasvamis­vahemikku. Antud juhul ongi tegemist sellise olu­korraga, sest kohal x_0=3 ei lähe funktsiooni y=\left(2x-6\right)^3 kasvamine üle kahanemiseks ja y'\left(3\right)=0. Seega kuulub ka x_0=3 vaadeldava funktsiooni kasvamis­vahemikku.

Vastus. Funktsioon y=\left(2x-6\right)^3 on kasvav kogu oma määramis­piirkonnas.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 961. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine

y=x^2-4x+7, x_0\in\left\{1;\ 2;\ 3\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=\left(3x-2\right)\left(x+3\right), x_0\in\left\{-1;\ -2;\ -3\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=4x^3-x^2-x+15, x_0\in\left\{0;\ -0,5;\ 1\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=-\frac{1}{3}x^3-2x^2+12x+9, x_0\in\left\{-7;\ 1;\ 2\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=\frac{x-1}{2x-1}, x_0\in\left\{0;\ 0,5;\ 1\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=\cos x\cdot\tan x, x_0\in\left\{\frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{6};\ -\frac{\pi}{3}\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=\frac{\sin x}{\tan x}, x_0\in\left\{-\frac{\pi}{6};\ \frac{3\pi}{4};\ \frac{\pi}{3}\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=x\cdot2^x, x_0\in\left\{-1;\ 0;\ 1\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

Ülesanne 962. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine

y=2x+3

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=-4x+3

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x^2-2x+5

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=5x^2-3x+1

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x^3-27x

Vastus. X1↑ = ; X2↑ = ; X↓ = 

y=x^2\left(x-3\right)

Vastus. X1↑ = ; X2↑ = ; X↓ = 

y=-x^3+15x^2-75x-3

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x^3-6x^2+45x+3

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x^3+6x^2-15x+6

Vastus. X1↑ = ; X2↑ = ; X↓ = 

y=x^3-9x^2+24x-3

Vastus. X1↑ = ; X2↑ = ; X↓ = 

Ülesanne 963. Bakterite arvu muutumine

Vastus. Bakterite arv väheneb, kui t ∈  ja suureneb, kui t ∈ .

Ülesanne 964. Punkti liikumise kiirus

Punkt liigub sirg­jooneliselt seaduse s\left(t\right)=-\frac{1}{3}t^3+2t^2+5t järgi (aega mõõdetakse sekundites, tee­pikkust meetrites).

Millises aja­vahemikus on selle punkti liikumise kiirus kasvav, millises kahanev?

Vastus. Punkti liikumise kiirus on kasvav, kui t ∈  ja kahanev, kui t ∈ .

Kontrollige saadud vastuse õigsust arvutil, kasutades funktsiooni v(t) graafikut.

Ülesanne 965. Keha liikumise kiirus

Sirg­jooneliselt liikuva keha poolt läbitud tee pikkus avaldub valemiga s\left(t\right)=-\frac{t^3}{3}+2t^2-4 (aega mõõdetakse sekundites, tee­pikkust meetrites).

Millises aja­vahemikus on selle keha liikumise kiirus kasvav, millises kahanev?

Vastus. Selle keha liikumise kiirus on kasvav, kui t ∈  ja kahanev, kui t ∈ .

Ülesanne 966. Kuuli kiirus

Otse üles lastud kuul liigub seaduse s\left(t\right)=v_0t-\frac{gt^2}{2} järgi, kus s (t) on kuuli kaugus lähte­punktist hetkel t, v_0 alg­kiirus ja g vaba langemise kiirendus (kasutatavad ühikud meeter ja sekund).

Leidke aja­vahemik pärast tulistamist, mille jooksul kuuli kiirus kahaneb, kui v_0=200\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} ja g=9,8\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}.

Vastus. Kuuli kiirus kahaneb, kui t ∈ .

Ülesanne 967. Nakkus­haiguse levimine
  • Millistel päevadel haigestunute protsent suureneb, millistel väheneb?
    Vastus. Haigestunute protsent suureneb esimesed  päeva ja väheneb alates . päevast.
  • Millistel päevadel haigestunute protsendi muutumise kiirus kasvab, millistel kahaneb?
    Vastus. Haigestunute protsendi muutumise kiirus kasvab esimesed  päeva ja väheneb alates . päevast.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 968. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine

y=\log_3x

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x+\sin x

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x-\cos x

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=\tan x

Vastus. Xn↑ = ; X↓ = 

y=2^x

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x-10\ln x

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x\cdot e^x

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x\cdot\ln x

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=\frac{3x^2}{x+1}

Vastus. X1↑ = ; X2↑ = ; X1↓ = ; X2↓ = 

y=\frac{5x^2}{2x-1}

Vastus. X1↑ = ; X2↑ = ; X1↓ = ; X2↓ = 

y=\frac{x^2}{x+1}

Vastus. X1↑ = ; X2↑ = ; X1↓ = ; X2↓ = 

y=\frac{x^2-1}{2x+1}

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=4x+\cos3x

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=-4x+\sin3x

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=\left(2x-1\right)^5

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=\left(2x-1\right)^4

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=\left(x^2-1\right)^3+x^2

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=3\left(2x+3\right)^5

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x+\ln\cos x, kus -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=\sin x+e^{\sin x}

Vastus. Xn↑ = ; Xn↓ = 

y=\frac{\sin x}{1+\cos x}

Vastus. Xn↑ = ; X↓ = 

y=\frac{1-\cos x}{\sin x}

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

loga x, x > 0

f(x)g(x), g (x) ≠ 0

Ülesanne 969. Kasvav funktsioon

Ülesanne 970. Kasvav funktsioon

Vastus. a ∈ 

Kontrollige mõne leitud a väärtuse korral saadud vastuse õigsust arvutil.

Ülesanne 971. Kasvav funktsioon

Vastus. a ∈ 

Kontrollige mõne leitud a väärtuse korral saadud vastuse õigsust arvutil.

Ülesanne 972. Kahanev funktsioon

Määrake parameetri a väärtused nii, et funktsioon y=\frac{2a-5}{3}x^3-2\left(a-1\right)x^2+3ax oleks kogu oma määramis­piirkonnas kahanev.

Vastus. a ∈ 

Ülesanne 973. Sirg­jooneliselt liikuv keha

Vastus. a ∈ 

Ülesanne 974. Sirg­jooneliselt liikuv keha

Keha liigub sirg­jooneliselt seaduse s\left(t\right)=\frac{t^3}{3}+\left(a-4\right)t^2+\left(a^2+6a\right)t järgi. Määrake parameetri a väärtused nii, et keha kaugus lähte­kohast oleks kogu aeg kasvav suurus.

Vastus. a ∈ 

Ülesanne 975. Kolme erineva lahendiga võrrand

Vastus. a ∈ 

Vihje
Leidke muutuja x sellised väärtused, mille korral võrrandi vasakul poolel oleva funktsiooni kasvamine asendub kahanemisega ja vastu­pidi. Milliseid tingimusi peavad selle funktsiooni väärtused nendes kohtades rahuldama, et võrrandil oleks kolm erinevat lahendit?
Seotud sisu
Muud tegevused