Ekstreemumi liik ja funktsiooni teine tuletis

Olgu funktsioon y = f (x) kohal x₀ diferentseeruv ja olgu tal seal ekstreemum, s.t f '(x₀) = 0. Uurime nüüd, kuidas saab tuletise abil selgitada, kas kohal x₀ on funktsioonil maksimum või miinimum. Ühte sellist võimalust me juba teame:

kui funktsiooni tuletis on enne ekstreemumkohta positiivne, pärast aga negatiivne, siis on tegemist maksimumiga; kui vastupidi, siis miinimumiga.

Seda meetodit on aga võimalik oluliselt lihtsustada, kui kasutada funktsiooni teist tuletist. Teame, et funktsiooni y = f (x) tuletis on ka ise mingi funktsioon, nn tuletisfunktsioon g (x), s.t g (x) = f '(x). Ka sellel uuel funktsioonil võib olla tuletis g '(x) =[f '(x)]'. Viimast nimetatakse funktsiooni y = f (x) teiseks tuletiseks ja tähistatakse sümboliga y'' või f ''(x). Seega

f ''(x) =[f '(x)]' ehk y'' = (y')'.

Uurime konkreetsete näidete najal, kuidas kasutada funktsiooni teist tuletist ekstreemumi liigi määramisel.

Ülesanne 990. Funktsioon ja selle tuletisfunktsioon

Leidke funktsiooni f (x) ekstreemumkohad ning funktsiooni g (x) kasvamis- ja kahanemisvahemikud.
Vastus. f (x) korral x_max = ja x_min = . g (x) korral X\uparrow = ja X\downarrow = .
Leidke jooniselt, millisesse saadud vahemikest kuulub funktsiooni f (x) maksimum-, millisesse miinimumkoht.Vastus. Funktsiooni f (x) maksimumkoht kuulub tuletisfunktsiooni g (x) vahemikku ja miinimumkoht funktsiooni g (x) vahemikku.

Uurige sama probleemi funktsiooni f (x) = –x³ + 2x² + x – 2 korral (joon 5.19).

Joon. 5.18

Joon. 5.19

Ülesandes 990 näeme, et funktsiooni f (x) maksimumkoht kuulub tuletisfunktsiooni g (x) kahanemisvahemikku, miinimumkoht aga kasvamisvahemikku. Edasises näitame, et see tulemus on üldkehtiv. Seega funktsiooni f (x) maksimumkohal kehtib võrratus g (x)' ≤ 0 ja miinimumkohal võrratus g (x)' ≥ 0.Kasutades funktsiooni teise tuletise mõistet, võime eelneva kokku võtta järgmiselt:

kui kohal x₀ kaks korda diferentseeruval funktsioonil y = f (x) on sellel kohal maksimum (miinimum), siis f ''(x₀) ≤ 0 (f ''(x₀) ≥ 0).

Samale tulemusele viib järgnev arutlus. Olgu funktsioon y = f (x) kohal x₀ kaks korda diferentseeruv, s.t sellel funktsioonil on kohal x₀ teine tuletis f ''(x₀). Olgu funktsioonil y = f (x) kohal x₀ maksimum (joonis 5.20).

Joon. 5.20

Uurime nüüd funktsiooni y = f (x) tuletisfunktsiooni käitumist maksimumkoha ümbruses. Kas tuletisfunktsioon g (x) = f '(x) on seal kasvav või kahanev? Jooniselt 5.20 näeme, et liikudes koha x₀ ümbruses vasakult paremale funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja tõusunurk ja seega ka puutuja tõus f ′(x) kahanevad. Tuletisfunktsioon on kahanev ka üleminekul maksimumkohast x₀, sest enne seda on tal positiivsed, pärast aga negatiivsed väärtused. Saime, et funktsiooni y = f (x) tuletisfunktsioon g (x) on koha x₀ ümbruses kahanev. Sellisel juhul aga tuletisfunktsiooni g (x) = f ′(x) tuletis kohal x₀ kas puudub, on negatiivne või null (vt peatükk 5.4). Seega juhul, kui funktsioon f (x) on kohal x₀ kaks korda diferentseeruv, saame siit, et maksimumkohal on selle funktsiooni tuletise tuletis ehk teine tuletis f ''(x) ≤ 0.

Ülesanne 991. Funktsiooni tuletisfunktsiooni uurimine

Milline on tuletisfunktsiooni märk enne ja pärast miinimumkohta?
Kas tuletisfunktsioon on miinimumkohal kasvav või kahanev?
Millist tingimust peab rahuldama tuletisfunktsiooni tuletis miinimumkohal?

Küsime nüüd, kas kehtivad ka esitatud väidete pöördväited, s.t kas alati, kui f ''(x₀) ≥ 0 (f ''(x₀) ≤ 0), on funktsioonil f (x) kohal x₀ miinimum (maksimum)? Selgub, et pöördväited kehtivad vaid rangete võrratuste korral. Peatükis 5.7 näeme, et leidub ka olukordi, kus funktsiooni teise tuletise võrdumine nulliga mingil kohal ei tähenda veel ekstreemumi olemasolu sellel kohal.Seega,

kui f '(x₀) = 0 ja f ''(x₀) < 0, siis on x₀ funktsiooni y = f (x) maksimumkoht; kui f '(x₀) = 0 ja f ''(x₀) > 0, siis on x₀ funktsiooni y = f (x) miinimumkoht.

Näide 1. Leiame funktsiooni y = x – ln x ekstreemumi ja määrame selle liigi. Lahendame esmalt võrrandi y'=0. Et y'=1-\frac{1}{x}, siis saame võrrandi 1-\frac{1}{x}=0, millest x = 1.Seega võib vaadeldava funktsiooni ekstreemum olla kohal x = 1. Leiame y ''(1). Et y''=\frac{1}{x^2}, siis y''\left(1\right)=1. Kuna y''\left(1\right)>0, siis on antud funktsioonil kohal x = 1 miinimum.Lõpuks leiame funktsiooni y=x-\ln x miinimumi, s.o funktsiooni väärtuse miinimumkohal.y\left(1\right)=1-\ln1=1Vastus. Funktsioonil y=x-\ln x on kohal x = 1 miinimum y = 1.

Näide 2. Leiame funktsiooni y=x^3+3x^2-9x+1 kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumpunktid ning skitseerime funktsiooni graafiku. Võimalike ekstreemumkohtade leidmiseks lahendame võrrandi y'=0. Ety'=3x^2+6x-9.siis võrrandist 3x^2+6x-9=0 saame x_1=-3 ja x_2=1.Leiame funktsiooni teise tuletise.y''=6x+6.Et y''\left(-3\right)<0 ja y''\left(1\right)>0, siis on vaadeldaval funktsioonil kohal x_1=-3 maksimum ja kohal x_2=1 miinimum.Arvutame nüüd funktsiooni väärtused ekstreemumkohtadel.y\left(-3\right)=-27+27+27+1=28 ja y\left(1\right)=1+3-9+1=-4.Kasvamisvahemike leidmiseks lahendame võrratuse 3x^2+6x-9>0. Saame X_1\uparrow=\left(-∞;\ -3\right) ja X_2\uparrow=\left(1;\ ∞\right).Kahanemisvahemiku leiame võrratusest 3x^2+6x-9<0. Saame X\downarrow=\left(-3;\ 1\right).Funktsiooni graafiku skitseerimiseks kanname koordinaatteljestikku ekstreemumpunktid ning funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud (joonis 5.21a).

Joon. 5.21

Et selgitada, mitmes kohas antud funktsiooni graafik lõikab x-telge, uurime, millele lähenevad funktsiooni väärtused, kui x\to\pm∞. Tuues avaldisestx^3+3x^2-9x+1muutuja kõrgema astme sulgude ette, saame, ety=x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{9}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right).

Paneme nüüd tähele, et kui x\to\pm∞, siis sulgudesse jäävate murdude väärtused lähenevad nullile, mistõttu y\to\pm∞.Kasutades piirväärtust saame sama mõttekäigu kirja panna järgmiselt:

\lim_{x \to \infty} (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1)

\lim_{x \to \infty} x^{3} (1 + \frac{3}{x} - \frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})

= ∞.

$\lim_{x \to - \infty} (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1)$ = $\lim_{x \to - \infty} x^{3} (1 + \frac{3}{x} - \frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})$ = –∞.

Siit näeme, et funktsioonil y=x^3+3x^2-9x+1 on nullkohad ka vahemikes (–∞; –3) ja (1; ∞). Seega võime otsitava graafiku skitseerida joonisel 5.21b näidatud kujul.

Näide 3. Leiame parameetri a väärtused, mille korral võrrandil x³ + 3x² – 9x – a = 0 on kolm erinevat reaalarvulist lahendit. Võrrandil x³ + 3x² – 9x – a = 0 on niisama palju lahendeid, kui on funktsioonil y = x³ + 3x² – 9x – a nullkohti. Seega peame parameetri a määrama nii, et funktsioonil y = x³ + 3x² – 9x – a oleks 3 nullkohta. Vaadeldav funktsioon on pidev ja y' = 3x² + 6x – 9.Lahendades võrrandi 3x² + 6x – 9 = 0, saame, et funktsioonil võivad ekstreemumkohad olla kohtadel x₁ = –3 ja x₂ = 1.Et y'' = 6x + 6, siis y''(–3) = –12 ja y''(1) = 12.Seega on vaadeldaval funktsioonil kohal x₁ = –3 maksimum ja kohal x₂ = 1 miinimum.

Arvestades saadud tulemust võime skitseerida funktsiooni y = x³ + 3x² – 9x – a graafiku joonisel 5.22 näidatud kujul. Jooniselt näeme, et antud funktsioonil võib olla kolm nullkohta vaid juhul, kui on täidetud kaks tingimust:y\left(-3\right)>0 ja y\left(1\right)<0.Vastavast võrratusesüsteemist saame, et

\{\begin{cases} a < 27 \\ a > - 5 \end{cases}

Joon. 5.22

Lõpuks jääb veel kontrollida, kas leitud a väärtuste korral funktsiooni graafik lõikab x-telge ka vahemikes (–∞; –3) ja (1; ∞). Et $\lim_{x \to - \infty} (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 27) = - \infty$ ja $\lim_{x \to \infty} (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5) = \infty$ , siis nii ka on.

Vastus. Võrrandil x³ + 3x² – 9x – a = 0 on kolm erinevat reaalarvulist lahendit, kui a ∈ (–5; 27).

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 992. Funktsiooni teine tuletis

y=3x+2
y'' =

y=-x+5
y'' =

y=2x^3-4x^2+7
y'' =

y=-5x^3+2x-3
y'' =

y=\frac{2}{\sqrt{x}}+x
y'' =

y=\frac{x}{x^2}-\sqrt[3]{x}
y'' =

y=\sin x+3\cos x
y'' =

y=2x-\cos x
y'' =

Ülesanne 993. Keha liikumise kiirus ja kiirendus

s\left(t\right)=t^2-3t+2 ja t_0=3.

Vastus. Keha liikumise kiirus on siis ja kiirendus .

s\left(t\right)=10t^2+3t-5 ja t_0=5.

Vastus. Keha liikumise kiirus on siis ja kiirendus .

s\left(t\right)=t^3+10t^2+5t-2 ja t_0=2.

Vastus. Keha liikumise kiirus on siis ja kiirendus .

s\left(t\right)=-2t^3+3t^2+125 ja t_0=6

Vastus. Keha liikumise kiirus on siis ja kiirendus .

Ülesanne 994. Funktsiooni ekstreemumkohad

y=x^2+x+1

Vastus. Funktsiooni koht on .

y=2x-2x^2

Vastus. Funktsiooni koht on .

y=x^3+3x^2+3x+1

Vastus. Funktsiooni miinimumkoht ja maksimumkoht .

y=\left(1-x\right)^3

Vastus. Funktsiooni miinimumkoht ja maksimumkoht .

y=x^2-2\ln x

Vastus. Funktsiooni koht on .

y=3\ln x-x^3

Vastus. Funktsiooni koht on .

Ülesanne 995. Funktsiooni ekstreemumpunktid

y=x^3-3x^2-5

Vastus. Funktsioon maksimumpunkt on ja miinimumpunkt on .

y=2x^3-6x^2-18x+7

Vastus. Funktsioon maksimumpunkt on ja miinimumpunkt on .

y=x\left(1-x^2\right)

Vastus. Funktsioon maksimumpunkt on ja miinimumpunkt on .

Ülesanne 996. Funktsiooni ekstreemumpunktid ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud

y=x^3-6x^2+9x-3

Vastus. Funktsiooni miinimumpunkt on ja maksimumpunkt on . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = . Sellel funktsioonil on nullkohta.

y=x^3-12x+3

Vastus. Funktsiooni miinimumpunkt on ja maksimumpunkt on . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = . Sellel funktsioonil on nullkohta.

y=x^4-4x+8

Vastus. Funktsiooni miinimumpunkt on ja maksimumpunkt . X\uparrow = , X\downarrow = . Sellel funktsioonil on nullkohta.

y=-x^4+32x+4

Vastus. Funktsiooni miinimumpunkt ja maksimumpunkt on . X\uparrow = , X\downarrow = . Sellel funktsioonil on nullkohta.

y=9-9x-6x^2-x^3

Vastus. Funktsiooni miinimumpunkt on ja maksimumpunkt on . X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Sellel funktsioonil on nullkoht.

y=1+12x+3x^2-2x^3

Vastus. Funktsiooni miinimumpunkt on ja maksimumpunkt on . X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Sellel funktsioonil on nullkohta.

Ülesanne 997. Tehase tootmiskulud

Leidke funktsiooni ekstreemumpunktid, kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning skitseerige funktsiooni graafik.
Vastus. Funktsiooni miinimumpunkt on ja maksimumpunkt on . X\uparrow = , X\downarrow = .
Millist informatsiooni tootmiskulude kohta saame graafikult?

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 998. Funktsiooni teine tuletis

y=\left(1+\cos x\right)\left(1-\cos x\right)
y'' =

y=\left(1-\sin x\right)\left(1+\sin x\right)
y'' =

y=x^2\cos x
y'' =

y=x^3\sin x
y'' =

y=e^{-x}+\ln x
y'' =

y=\log_ax
y'' =

Ülesanne 999. Funktsiooni ekstreemumkohad

y=\frac{x}{1+x^2}

Vastus. Funktsiooni miinimumkoht on ja maksimumkoht .

y=x^2\ln x

Vastus. Funktsiooni koht on .

y=2x\ln x

Vastus. Funktsiooni koht on .

y=\frac{e^x}{x}

Vastus. Funktsiooni koht on .

Ülesanne 1000. Funktsiooni ekstreemumpunktid

y=\sqrt{x^2-6x+5}

Vastus. Funktsiooni punktid on ja .

y=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(x-1\right)^2}

Vastus. Funktsiooni punkt on .

y=e^{2x-x^2}

Vastus. Funktsiooni punkt on .

y=\ln\left(x^2+3x\right)

Vastus. Funktsiooni miinumumpunkt ja maksimumpunkt .

Ülesanne 1001. Funktsiooni ekstreemumpunktid ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud

y=x^4-2x^2-5

Vastus. Funktsiooni ekstreemumpunktid on , ja . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Sellel funktsioonil on nullkohta.

y=x^4-8x^2+1

Vastus. Funktsiooni ekstreemumpunktid on , ja . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Sellel funktsioonil on nullkohta.

y=3x^4-4x^3-6x^2-12x+1

Vastus. Funktsiooni ekstreemumpunkt on . X\uparrow = , X\downarrow = . Sellel funktsioonil on nullkohta.

y=x^4+32x-8

Vastus. Funktsiooni ekstreemumpunkt on . X\uparrow = , X\downarrow = . Sellel funktsioonil on nullkohta.

Ülesanne 1002. Võrrandi lahendite arv

Ülesanne 1003. Võrrandi lahendite arv

4x^3-3x^2-36x-10=0

Vastus. Sellel võrrandil on erinevat reaalarvulist lahendit.

\frac{x^4}{4}-x^3-\frac{x^2}{2}+3x=0

Vastus. Sellel võrrandil on erinevat reaalarvulist lahendit.

Ülesanne 1004. Võrrandi lahendite arv

Vastus. a ∈

Ülesanne 1005. Võrrandi lahendite arv

Vastus. Võrrandil on 4 reaalarvulist lahendit, kui a ∈ ; 3 reaalarvulist lahendit, kui a ∈ ; 2 reaalarvulist lahendit, kui a ∈ ; 1 reaalarvuline lahend, kui a ∈ ja lahendid puuduvad, kui a ∈ .

Ülesanne 1006. Võrrandi lahendite arv

Vastus. a =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Ekstreemumi liik ja funktsiooni teine tuletis

Ülesanne 990. Funktsioon ja selle tuletis­funktsioon

Ülesanne 991. Funktsiooni tuletis­funktsiooni uurimine

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 992. Funktsiooni teine tuletis

Ülesanne 993. Keha liikumise kiirus ja kiirendus

Ülesanne 994. Funktsiooni ekstreemum­kohad

Ülesanne 995. Funktsiooni ekstreemum­punktid

Ülesanne 996. Funktsiooni ekstreemum­punktid ning kasvamis- ja kahanemis­vahemikud

Ülesanne 997. Tehase tootmis­kulud

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 998. Funktsiooni teine tuletis

Ülesanne 999. Funktsiooni ekstreemum­kohad

Ülesanne 1000. Funktsiooni ekstreemum­punktid

Ülesanne 1001. Funktsiooni ekstreemum­punktid ning kasvamis- ja kahanemis­vahemikud

Ülesanne 1002. Võrrandi lahendite arv

Ülesanne 1003. Võrrandi lahendite arv

Ülesanne 1004. Võrrandi lahendite arv

Ülesanne 1005. Võrrandi lahendite arv

Ülesanne 1006. Võrrandi lahendite arv

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Ülesanne 990. Funktsioon ja selle tuletisfunktsioon

Ülesanne 991. Funktsiooni tuletisfunktsiooni uurimine

Ülesanne 994. Funktsiooni ekstreemumkohad

Ülesanne 995. Funktsiooni ekstreemumpunktid

Ülesanne 996. Funktsiooni ekstreemumpunktid ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud

Ülesanne 997. Tehase tootmiskulud

Ülesanne 999. Funktsiooni ekstreemumkohad

Ülesanne 1000. Funktsiooni ekstreemumpunktid

Ülesanne 1001. Funktsiooni ekstreemumpunktid ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud