Logaritm­võrrand

Logaritm­võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb vaid logaritmitavas või logaritmi aluses.

Näide 1.

Näiteks on logaritm­võrrandeiks võrrandid

\log_2x=4,

\log_3\left(2x^2-23\right)=2,

\log_{x-1}27=3.

Logaritm­võrrandi lahendamisel teisendatakse võrrand kujule

\log_af\left(x\right)=c   või   \log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right),

millest logaritmi definitsiooni põhjal või potentseerimise teel saadakse vastavalt võrrand

f\left(x\right)=a^c   või   f\left(x\right)=g\left(x\right).

Lahendanud saadud võrrandi, tuleb muutuja x leitud väärtusi kontrollida, sest näiteks potentseerimisel võib võõr­lahendeid juurde tulla.

Näide 2.

Lahendame võrrandi

\log_5\left(x-3\right)+\log_5\left(x+3\right)-\log_5\left(x+1\right)=1.

Kasutame võrrandi teisendamisel peatükis 3.7 tuletatud valemeid. Selle tulemusena saab võrrand kuju

\log_5\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x+1}=1 ehk \log_5\frac{x^2-9}{x+1}=1.

Arvu logaritmi definitsiooni põhjal

\frac{x^2-9}{x+1}=5, millest x2 – 5x – 14 = 0. Siit x1 = –2 ja x2 = 7.

Kontrollime saadud lahendeid. Et x = –2 korral muutub lähte­võrrandis osa logaritmitavaid negatiivseteks, siis –2 ei ole antud võrrandi lahendiks. (Küll on aga x = –2 enne potentseerimist saadud võrrandi \log_5\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x+1}=1 lahend.) See­vastu x = 7 on võrrandi lahend, sest

\log_5\left(7-3\right)+\log_5\left(7+3\right)-\log_5\left(7+1\right) = \log_54+\log_510-\log_58 = \log_5\frac{4\cdot10}{8} = \log_55 = 1.

Vastus. x = 7.

Näide 3.

Lahendame võrrandi \log_32\cdot\log_2x\cdot\log_x\left(2x-3\right)=\log_3x.

Et logaritmide alused on erinevad, läheme üle ühele ja samale alusele, näiteks alusele 10:

\frac{\log2}{\log3}\cdot\frac{\log x}{\log2}\cdot\frac{\log\left(2x-3\right)}{\log x}=\frac{\log x}{\log3}.

Lihtsustades võrrandit, saame

log(2x – 3) = log x, millest 2x – 3 = x ja siit x = 3.

Kontrolliks arvutame esi­algse võrrandi vasaku poole väärtuse, kui x = 3. Et \log_32\cdot\log_23\cdot\log_3\left(2\cdot3-3\right) = \log_32\cdot\frac{1}{\log_32}\cdot\log_33 = \log_33 = 1 ja ka võrrandi parem pool annab sama tulemuse, \log_33=1, siis x = 3 on võrrandi lahend.​

Logaritm­võrrand võib kujutada endast ka meile juba tuttavat algebralist võrrandit avaldise \log_af\left(x\right) suhtes.

Näide 4.

Lahendame võrrandi \log_3^2\ x-6\log_3x+8=0.

Tegemist on ruut­võrrandiga \log_3x suhtes. Seega

\log_3x=3\pm\sqrt{9-8}=3\pm1,

millest

\log_3x=2   või   \log_3x=4.

Neist võrranditest vastavalt

x_1=3^2=9, x_2=3^4=81.

Kontrollime lahendeid:

  1. \log_3^2\ 9-6\log_39+8=2^2-6\cdot2+8=0
  2. \log_3^2\ 81-6\log_381+8=4^2-6\cdot4+8=0

Vastusx_1=9 ja x_2=81.

Näide 5.

Lahendame võrrandi x^{\log x}=100.

Võrrand pole ei eksponent- ega logaritm­võrrand, kuid seda saab lahendada võrrandi mõlema poole logaritmimise teel alusel 10, sest võrrandis juba esineb kümnend­logaritm:

\log x\cdot\log x=\log100, s.t \log^2x=2.

Siit

\log x=\pm\sqrt{2}

ja

x_1=10^{\sqrt{2}}, x_2=10^{-\sqrt{2}}.

Kontrollime lahendeid:

\left(10^{\sqrt{2}}\right)^{\log10^{\sqrt{2}}}=\left(10^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=10^2=100

\left(10^{-\sqrt{2}}\right)^{\log10^{-\sqrt{2}}}=\left(10^{-\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{2}}=10^2=100

Järelikult on x_1=10^{\sqrt{2}} ja x_2=10^{-\sqrt{2}} esi­algse võrrandi lahendid.

Ülesanded A

Ülesanne 677. Logaritm­võrrand

\log_2x=4
x

\log_3\left(2x^2-23\right)=2
x või x

\log_x16=4
x

\log_{x-1}27=3
x

\log_x8=\frac{1}{2}
x

\log_{x-1}\left(2-2x\right)=2
x

\log_4x=0
x

\log_{x+1}x^2=0
x

Ülesanne 678. Logaritm­võrrand

\log x=\log5
x

\log8x=\log13
x

\log\left(x+4\right)=\log2
x

\log\left(2x-5\right)=\log7
x

\log x=-\log3
x

\log x=-\log0,8
x

\log\left(x-0,2\right)=-\log5
x

\log\left(8-3x\right)=-\log11
x

Ülesanne 679. Logaritm­võrrand

\log x+\log\left(x+1\right)=\log6
x

\log_3\left(x-4\right)+\log_3\left(x+2\right)=\log_37
x

\log x+\log\left(2x-3\right)=\frac{1}{2}\log x^2
x

\log\left(x+8\right)-\log\left(x-6\right)=\log4,5
x

Ülesanne 680. Logaritm­võrrand

\log_4^2\ x+\log_4x-6=0
x1 = , x2

3\log^2x-5\log x+2=0
x1, x2

2\ln^2x+5\ln x-3=0
x1, x2

\log_x^2\ 16+2\log_x16-8=0
x1x2

Ülesanded B

Ülesanne 681. Logaritm­võrrand

\log\left(x+\frac{x}{x-1}\right)=\log x+\log\frac{x}{x-1}

\log_4\log_3\log_2x=0
x

\frac{\log\left(2x-19\right)-\log\left(3x-20\right)}{\log x}=-1
x

\log_3\left[1+\log_2\left(1+\log_5x\right)\right]=0
x

5^{\log x}-3^{-1+\log x}=3^{1+\log x}-0,2\cdot5^{\log x}
x

\log_2\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}=1
x

Ülesanne 682. Logaritm­võrrand

\log_2x-\log_x2=0
x1, x2

\log_5x+2,25\log_x5-5=0
x1, x2

\ln x+16\log_xe-8=0
x = 

\log x-4\log_x10=0
x1, x2

Ülesanne 683. Võrrandi lahendamine

3^{\log x}=2
x = 

x^{\log2x}=1
x1, x2

10^{\log x}=2,7
x = 

3^{\log x}=9
x = 

Ülesanne 684. Võrrandi lahendamine

x^{\log x}=100x
x1, x2

x^{\log\sqrt{x}}=100
x1, x2

5^{x-1}=7^{1-x}
x = 

\log_2\sqrt{x^2}=1
x1 = , x2