Logaritm­funktsioon

Nagu teame, on arv r arvu N logaritm alusel a, mida kirjutatakse lühemalt r = logaN, kui ar = N, kus a > 0 ja a ≠ 1. Kui nüüd arv N saab kõik­võimalikke positiivseid reaal­arvulisi väärtusi, seab võrdus r = logaN igale reaal­arvule N piir­konnast (0; ∞) vastavusse ühe arvu r ∈ R. Seega defineerib võrdus r = logaN funktsiooni, mida nimetatakse logaritm­funktsiooniks. Tähistades nagu ikka argumendi tähega x ja funktsiooni tähega y, saame logaritm­funktsiooni traditsioonilise esitus­viisi y = loga x.

Selgub, et logaritm­funktsioon on eksponent­funktsiooni y = ax, kus a > 0 ja a ≠ 1, pöörd­funktsioon. Eksponent­funktsioon on pidev ja kogu oma määramis­piirkonnas kas kasvav (a > 0 korral) või kahanev (0 < a < 1 korral). Järelikult on eksponent­funktsioonil olemas pöörd­funktsioon (peatükk 2.16). Pöörd­funktsiooni leidmiseks avaldame eksponent­funktsiooni y = ax argumendi x muutuja y kaudu: x = loga y. Nüüd loeme endise argumendi x funktsiooniks ja muutuja y argumendiks ning läheme üle traditsioonilistele tähistele. Tulemusena saame funktsiooni y = ax pöörd­funktsiooni y = loga x, mis ongi logaritm­funktsioon. Nagu eksponent­funktsiooni korral, nii ka nüüd on a > 0 ja a ≠ 1. Niisiis kokku­võtvalt:

logaritm­funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = loga x, kus a > 0, a ≠ 1.

Logaritm­funktsioon on eksponent­funktsiooni y = ax, a > 0, a ≠ 1 pöörd­funktsioon.

Näiteks funktsiooni y = 3x pöörd­funktsioon on y = log3 x.

Et logaritm­funktsioon on eksponent­funktsiooni pöörd­funktsioon, siis on tema määramis­piirkonnaks eksponent­funktsiooni muutumis­piirkond ja muutumis­piirkonnaks eksponent­funktsiooni määramis­piirkond. Järelikult on logaritm­funktsiooni y = loga x määramis­piirkonnaks vahemik 0 < x < ∞, muutumis­piirkonnaks aga kogu reaal­arvude hulk R.

Logaritm­funktsiooni graafiku saame vastava eksponent­funktsiooni graafiku peegeldamisel sirgest y = x, mis tähendab, et funktsioonide y = loga x ja y = ax graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes (joonis 3.15 ja 3.16).

Joon. 3.15
Joon. 3.16

Logaritm­funktsiooni definitsioonist ja graafikult, mis on pidev joon, loeme välja logaritm­funktsiooni omadused.

  1. Kui a > 1 (joonis 3.15).
    1. Null­kohti on üks, x0 = 1. Graafik läbib punkti B(1; 0).
    2. Graafik läbib punkti (a; 1).
    3. Positiivsus­piirkonnaks on vahemik 1 < x < ∞. Negatiivsus­piirkonnaks on vahemik 0 < x < 1.
    4. Funktsioon on kasvav kogu määramis­piirkonnas, s.t vahemikus 0 < x < ∞.
    5. Argumendi x väärtuste tõkestamatul kasvamisel kasvavad loga x väärtused tõkestamatult. Kui argumendi väärtused lähenevad tõkestamatult nullile, vähenevad loga x väärtused tõkestamatult.
    6. Funktsiooni graafiku asümptoodiks on y-telg.
  2. Kui 0 < a < 1 (joonis 3.16).
    1. Null­koht on sama, mis juhul a > 1, s.o x0 = 1. Graafik läbib punkti B(1; 0).
    2. Graafik läbib punkti (a; 1).
    3. Positiivsus­piirkonnaks on vahemik 0 < x < 1. Negatiivsus­piirkonnaks on vahemik 1 < x < ∞.​
    4. Funktsioon on kahanev kogu määramis­piirkonnas, s.t vahemikus 0 < x < ∞.
    5. Argumendi x väärtuste tõkestamatul kasvamisel vähenevad loga x väärtused tõkestamatult. Kui argumendi väärtused lähenevad tõkestamatult nullile, kasvavad loga x väärtused tõkestamatult.
    6. Funktsiooni graafiku asümptoodiks on y-telg.

Logaritm­funktsioonide y = log x ja y = ln x graafikud on joonisel 3.17. Sellelt on ka näha, kuidas mõjub logaritm­funktsiooni graafikule aluse kasvamine.

Joon. 3.17

Näide 1.

Selgitame, kas 1) log5 0,6; 2) log0,8 9; 3) ln 2 on positiivne või negatiivne.

Tugineme logaritm­funktsiooni kolmandale omadusele või veelgi parem, kujutame ette vastava funktsiooni graafikut:

  1. log5 0,6 < 0, sest a = 5 > 1 tõttu kuulub argumendi väärtus 0,6 funktsiooni y = log5 x negatiivsus­piirkonda;
  2. log0,8 9 < 0, sest a = 0,8 < 1 tõttu kuulub argumendi väärtus 9 funktsiooni y = log0,8 x negatiivsus­piirkonda;
  3. ln 2 > 0, sest argumendi väärtus 2 kuulub funktsiooni y = ln x positiivsus­piirkonda (joonis 3.17).

Näide 2.

Selgitame, kumb on suurem, kas 1) log 2 või log 6; 2) log0,2 3 või log0,2 0,7.

  1. Et funktsioon y = log x on kasvav, siis vastab suuremale argumendi väärtusele suurem funktsiooni väärtus. Seega log 2 < log 6.
  2. Et funktsioon y = log0,2 x on kahanev, siis vastab suuremale argumendi väärtusele väiksem funktsiooni väärtus. Seega log0,2 3 < log0,2 0,7.

Näite­ülesande 2 lahendamisel esinenud mõtte­käigud saab kokku­võtlikult sõnastada järgmise teoreemina:

kui 0 < a < 1, siis loga x1 > loga x2 ⇔ x1 < x2;

kui a > 1, siis loga x1 < loga x2 ⇔ x1 < x2.

Näide 3.

Lahendame võrratuse log0,4 (2x – 4) < 0.

Selle võrratuse lahendamine tähendab funktsiooni y = log0,4 (2x – 4) negatiivsus­piirkonna leidmist. Et a = 0,4 < 1, siis on funktsiooni väärtused negatiivsed, kui logaritmitav on suurem ühest. Nii­siis, 2x – 4 > 1 ehk x > 2,5.

Näide 4.

Lahendame võrratuse log (1 – x) < 2.

Kirjutame antud võrratuse kujul log (1 – x) < log 100. Et a = 10 > 1 korral vastab suuremale argumendi väärtusele suurem funktsiooni väärtus, siis 1 – x < 100, millest x > –99. See­juures peab logaritmitav olema alati positiivne, s.t 1 – x > 0, millest x < 1. Järelikult on antud võrratuse lahendiks vahemik –99 < x < 1.

Näide 5.

Leiame funktsiooni y = log (x2 – x3) määramis­piirkonna, s.t argumendi x väärtuste hulga, mille korral funktsiooni väärtusi saab arvutada.

Logaritmitav peab olema alati positiivne, seega

x2 – x3 > 0 ehk x2 (1 – x) > 0.

Et x ≠ 0 (nullist ei saa logaritmi leida), siis x2 > 0 ja 1 – x > 0, millest x < 1. Tingimuse x ≠ 0 tõttu koosneb määramis­piirkond kahest vahemikust:

x < 0, 0 < x <1.

Logaritm­funktsiooni abil kirjeldatakse ka mitmeid nähtusi.

Näide 6.

Kui kahe heli tugevused on I ja I0, siis nende tugevuste erinevust L mõõdetakse detsi­bellides (dB) ja arvutatakse valemiga L=10\cdot\log\frac{I}{I_0}. Kui suuruseks I0 võtta inimese poolt tajutav väikseim heli­tugevus (kuulmis­lävi), siis valem L=10\cdot\log\frac{I}{I_0} lubab leida, kuidas kuuleb heli tugevusega I inimene. Arvutame,

  1. mitme­kordselt ületab tegelikult heli tugevusega I inimese kuulmis­lävele vastava heli­tugevuse I0, kui inimene kuuleb heli I heli­tugevusega L = 1 dB;
  2. millisena kuuleb heli inimene, kui heli tegelik tugevus I = 126 · I0?
  1. Et L = 1 dB, siis 1=10\cdot\log\frac{I}{I_0}, millest \log\frac{I}{I_0}=0,1 ja I\approx1,26\cdot I_0.
  2. Ülesande tingimuste kohaselt L=10\cdot\log\frac{126I_0}{I_0} = 10\cdot\log126 ≈ 21.

Võrreldes oma­vahel neid kahte juhtu, selgub, et kui heli tegelik tugevus I suurenes 100 korda (1,26I0 ja 126I0), tajus inimene heli­tugevuse suurenemist vaid 21 korda (1 dB ja 21 dB).

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 662. Pöörd­funktsiooni leidmine

Antud funktsioon

Pöörd­funktsioon

y=6^x

y = 

y=0,3^x

y = 

y=2^{3x}

y = 

Antud funktsioon

Pöörd­funktsioon

y=0,6^{2x}

y = 

y=2^{-x}

y = 

y=3^{-4x}

y = 

Antud funktsioon

Pöörd­funktsioon

y=\log_8x

y = 

y=\log_{1,2}x

y = 

y=\log_{0,1}x

y = 

Ülesanne 663. Logaritm­funktsioon

Milline on nende funktsioonide korral määramis­piirkond, null­kohad, positiivsus- ja negatiivsus­piirkond, kasvamis- ja kahanemis­vahemik ning millised on ekstreemum­kohad?

X

X_0

X^+

X^-

X\uparrow

X\downarrow

X_e

y=\log_6x

y=\log_2x

Ülesanne 664. Logaritm­funktsioon
Joon. 3.15
Joon. 3.16

Vastus. Joonisel 3.15 oleva logaritm­funktsiooni korral a =  ja joonisel 3.16 oleva logaritm­funktsiooni korral a = .

Ülesanne 665. Logaritm­funktsioon

Arvestades, et funktsioonide \log_ax ja \log_{\frac{1}{a}}x graafikud on oma­vahel sümmeetrilised x-telje suhtes, konstrueerige funktsioonidega y=\log_6x ja y=\log_2x (ül 663) samasse teljestikku funktsioonide y=\log_{\frac{1}{6}}x ja y=\log_{0,5}x graafikud. Kuidas mõjutab logaritmi aluse 0 < a < 1 muutumine vastavate funktsioonide graafikute vastastikust asendit?

Milline on nende funktsioonide korral määramis­piirkond, null­kohad, positiivsus- ja negatiivsus­piirkond, kasvamis- ja kahanemis­vahemik ning millised on ekstreemum­kohad?

Vastus. Mõlema korral: X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_e = .

Ülesanne 666. Logaritm­funktsioon

Vastus. X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_e = .

Ülesanne 667. Logaritm­funktsioon

Vastus. X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_e = .

Vastus. X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_e = .

Ülesanne 668. Logaritmi väärtus

\log_46 on 

\log_27 on 

\log_50,49 on 

\log_{0,83}4 on 

\log_{0,2}0,7 on 

\log_41 on 

\log0,6 on 

\log9 on 

\ln3 on 

\ln0,4 on 

\ln0,7 on 

\log66 on 

Ülesanne 669. Logaritmi väärtus

\log_23  \log_210

\log_50,9  \log_54

\log_{0,5}0,6  \log_{0,5}6

\log_{0,1}10  \log_{0,1}8

\log_{\sqrt{2}}1  \log_{\sqrt{2}}0,7

\log\frac{1}{7}  \log7

\log0,73  \log0,74

\ln5  \ln6

\ln0,125  \ln2^{-3}

\ln2^{-7}  \ln2^{-6}

Ülesanne 670. Funktsiooni määramis­piirkond

Antud funktsioon

Määramis­piirkond

\log_ax

\log_a\left(-x\right)

\log_a\left(x+4\right)

Antud funktsioon

Määramis­piirkond

\log\left(x^2-1\right)

\log_ax^2

\log\left(2x-3\right)

Antud funktsioon

Määramis­piirkond

\log_3\left(x^2-10x+21\right)

\log_28x

\ln\left(x^2+5x\right)

Ülesanne 671. Heli­tugevus

Kui kahe heli tugevused on I ja I0, siis nende tugevuste erinevust L mõõdetakse detsi­bellides (dB) ja arvutatakse valemiga L=10\cdot\log\frac{I}{I_0}.

Kasutades seda valemit, leidke,

  1. mitme detsi­belline on heli­tugevus siis, kui
    1. I = I0,

      Vastus. Heli­tugevus on siis  dB.
    2. I =1000 I0, s.t mängib vaikne rahulik muusika?

      Vastus. Heli­tugevus on siis  dB.
  2. mitme­kordselt ületab tegeliku heli tugevus I kuulmis­läve I0, kui
    1. toimub vestlus (L = 65 dB),

      Vastus. Tegeliku heli tugevus ületab kuulmis­läve  korda.
    2. on äike (L = 110 dB)?

      Vastus. Tegeliku heli tugevus ületab kuulmis­läve  korda.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 672. Tõestamine

Tõestage, et funktsioonide \log_ax ja\log_{\frac{1}{a}}x graafikud on oma­vahel sümmeetrilised x-telje suhtes.

Ülesanne 673. Logaritmi väärtus

\log_2b
Kui , siis negatiivne, kui , siis positiivne.

\log_{0,1}b
Kui , siis negatiivne, kui , siis positiivne.

\log_a10;
kui , siis negatiivne, kui , siis positiivne

\log_a0,3;
kui , siis negatiivne, kui , siis positiivne

Ülesanne 674. Logaritmi väärtus

\log_4a või \log_4b.

Vastus. Kui a > b, siis

\log_4a  \log_4b;

kui a < b, siis

\log_4a  \log_4b;

kui a = b, siis

\log_4a  \log_4b.

\log_a1 või \log_a2.

Vastus. Kui 0 < a < 1, siis

\log_a1  \log_a2;

kui a > 1, siis

\log_a1  \log_a2.

Ülesanne 675. Funktsiooni määramis­piirkond

Antud funktsioon

Määramis­piirkond

\log\frac{x+1}{x-2}

\log\frac{4-x}{x}

\ln\left(8x+4\right)

Ülesanne 676. Logaritm­võrratuse lahendamine

\log_2x>0

\log_3x<0

\log_{0,5}x>0

\log_{0,7}x<0

\log\left(x-5\right)>0

\log\left(1-x\right)<0

\ln\left(x^2-1\right)<0

\ln\left(2x-3\right)<0

\log_{0,6}\left(8x+7\right)>0

\log_2x>1

\log\left(x^2+36\right)<2

\log\left(x-2\right)<\log2x

\log_{0,1}x>-1

\log_{0,3}\left(x+5\right)<2

\ln x^2<2

Seotud sisu
Muud tegevused