Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi­süsteem ja selle graafiline lahendamine

Peatükk õpetab

  • avaldama ühte muutujat teise kaudu
  • leidma lõikepunkte koordinaattelgedega
  • määrama graafikul süsteemi lahendit
  • lahendama süsteemi graafiliselt
More like this
More options

Velotuur

Velotuuril Šveitsis tehti sotsiaalmeediasse pildipostitus rattakompuutrist, mis näitas, et etapi maksimumkiirus oli 135 km/h. Eesti velotuuridel on ratturite kiirus ligikaudu 40% mainitud maksimumkiirusest

Sinine graafik kujutab velotuuri grupi liikumist mingis tuuri lõigus. Punane graafik kujutab üksiku eessõitja liikumist samas lõigus. Kuidas seletada punktide A, B, C ja D tähendust sellel graafikul?

  1. Punkt  märgib kohta, kus grupp jõuab eessõitjale järele.
  2. Lõik AC kirjeldab  sõidukiirust kui lõik BC. 
  3. Punkt  näitab, et eessõitja on läbinud selleks ajahetkeks rohkem kilomeetreid kui grupp.
  4. Punkt  võib tähistada raja ääres seisjat.
  5. Lõik  tähistab  sest aeg muutub, aga läbitud kilomeetrid mitte.
More like this
More options

Ühe muutuja avaldamine 

Lineaarvõrrandisüsteemis on mõlemad võrrandid lineaarvõrrandid ning nende graafikuteks on sirged. 

Vahel on mugavam graafikuid joonestada, kui avaldame mõlemas võrrandis ühe muutuja teise kaudu, tavaliselt muutuja y muutuja x kaudu.

Märka

Muutuja avaldamine tähendab võrde teisendusi, kus avaldatav muutuja jääb üksinda ühele poole võrdusmärki ning teised liikmed viiakse teisele poole võrdusmärki. Teisenduste käigus ei tohi võrrandite samaväärsus kaduma minna.

  • 2x – y = 5  ehk  y = 2x – 5
  • 2x – y = 5  ei võrdu  y = –2x + 5,
    ​sest vasakule poole võrdusmärki jääb –y.

Näide 1

x+y=32x-5y=10

Avaldame esimesest võrrandist muutuja y.

x + y = 3
​y = 3 – x

Avaldame teisest võrrandist muutuja y.

2x – 5y = 10
​–5y = 10 – 2x
–5y = 10 – 2x | : (–5)
y = –2 + 0,4x​​

Süsteem saab kuju  y=3-xy=-2+0,4x

  • 6x – 2y = –8
  • x – y = 2
  • 2y + x = 2
  • y + 3x = 4
More like this
More options

Kahe muutujaga lineaarvõrrandi graafiku koostamine ilma ühte muutujat avaldamata

Sirge joonestamine kahe punkti abil

Telglõikude meetod ehk „Sõrm tuleb appi“
  1. x + y = 8, see graafik  järgneval joonisel
    nimega .
    Lõikab y-telge punktis (; ).
    Lõikab x-telge punktis (; ).
  2. 2x – y = 6, see graafik  järgneval joonisel joonisel
    nimega .
    Lõikab y-telge punktis (; ).
    Lõikab x-telge punktis (;).
  3. –5x + 2y = 10, see graafik  järgneval joonisel
    nimega .
    Lõikab y-telge punktis (; ).
    Lõikab x-telge punktis (; ).
More like this
More options

Kahe muutujaga lineaarvõrrandi süsteemi graafiline lahendamine

  • Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge. 
  • Avaldame mõlemast võrrandist muutuja y. 
  • Joonestame süsteemi mõlemad sirged koordinaatteljestikku. 
  • Graafikud lõikuvad mingis punktis. Selle punkti koordinaadid on süsteemi lahendid.

Näide 2

Lahendame graafiliselt võrrandisüsteemi x+y=20x-y=4

Lahendus

  1. Avaldame muutuja y ning süsteem saab uue kuju.

y=20-xy=x-4

  1. Joonestame mõlemad sirged koordinaatteljestikku. Näiteks kasutame kahe punkti meetodit. Aga sobivad ka kõik teised meetodid graafikute joonestamisteks, näiteks telglõikude meetod.
  2. y=20-x\ Graafik läbib punkte (0; 20) ja (10; 10).
  3. y=x-4\ Graafik läbib punkte (5; 1) ja (10; 6).
  4. Sirged lõikuvad punktis (12; 8).

Vastus

Süsteemi lahend on (12; 8), kohas, kus graafikud lõikuvad.

Siia sobib näiteks olukord, kus kahte anumasse on valatud kokku 20 l vedelikku, ühte 4 liitrit rohkem kui teise. Soovitakse teada, mitu liitrit vedelikku on kummaski anumas

Näide 3

y = x – 2 ja y = –2x + 1

Joonisel on süsteemi  y=x-2y=-2x+1
​graafiline lahendus.

Need kaks sirget lõikuvad punktis A(1; –1).

Vastus

Süsteemi muutujate asemele sobivad arvud x = 1 ja y = –1.

More like this
More options

Harjutan ja lahendan

A-st ja B-st

Loe jooniselt süsteemi lahend.

Vastus

Süsteemi lahend on
(; ).

Vastus

Süsteemi lahend on
(; ).

Vastus

Süsteemi lahend on
(; ).

Graafiline lahendus

Graafikul on üks sirge lineaarvõrrandi­süsteemist. Määra teise sirge asukoht ning kirjuta välja süsteemi lahend.

x+y=3x+2y=4

Vastus

(; )

x-y=-4x+y=0

Vastus

(; )

2x+y=-1x+y=2

Vastus

(; )

  1. Kui muutuja x väärtused on kogu aeg võrdsed 3-ga, siis sirge on y-teljega paralleelne ja lõikab x-telge punktis (3; 0).
  2. Kui muutuja y väärtused on kogu aeg võrdsed –2-ga, siis sirge on paralleelne -teljega ja lõikab -telge punktis
    (; ).
x-teljega paralleelne sirge on y = –2 ning y-teljega paralleelne sirge on x = 3
  1. y=xy=-3
    Vastus.(; ) 
  2. y=xx=1
    Vastus. (; )

Joonise lugemine

Kasuta järgmiste ülesannete lahendamiseks interaktiivset joonist.
Joonisel on sirged y = 3, y = ax + 6, y = 3x –b.​

  1. Rööpkülik jääb antud joonte ja x-telje vahele ning on  pindalaga S = 15 pindalaühikut.
    1. y = x + 6
    2. y = 3x – 
  2. Rööpkülik jääb antud joonte ja x-telje vahele ning on  pindalaga S = 6 pindalaühikut.
    1. y = x + 6
    2. y = 3x – 
  3. Rööpkülik jääb antud joonte ja x-telje vahele ning on  pindalaga S = 1 pindalaühikut.
    1. y = x + 6
    2. y = 3x + 

Kujundi tipud on A(1; 3), B(4; 3), C(3; 0), D(2; 0).

Kujundi määrvad sirged

  1. y = 
  2. y =  
  3. y = x + 6
  4. y = 3x – 

Kujundi S =  pinnaühikut.

Kujundi tipud on A(–3; 3), B(2; 3), C(1; 0), D(–6; 0). Määra süsteem, mille lahend annab kujundi tipu.

A-3;3⇒y=y= 

B2;3⇒y=y=

C1;0⇒y=y=

D-6;0⇒y=y=

Kujundi S =  pinnaühikut.

More like this
More options

Reeglid ja valemid

  • Iga lineaarvõrrandisüsteemi võrrandi järgi saab joonestada ühe sirge.
  • Lineaarvõrrandisüsteemi lahend asub graafikute lõikepunktis.
More like this
More options