- Что такое общий делитель?
- Как найти наибольший общий делитель?
- У всех ли чисел есть общие делители?
Нахождение общих делителей
Задание 1
Мама подала на стол 18 бутербродов и 24 маффина.
- На сколько гостей мог быть накрыт стол, если известно, что все гости получили поровну как бутербродов, так и маффинов?
- Сколько различных закусок получил каждый из гостей?
Исследуем эту проблему в более общем виде. Пусть нам даны три числа, например, 40, 60 и 80.
Все эти числа делятся, например, на 20, то есть 20 является общим делителем чисел 40, 60 и 80.
В этом случае так и говорят: 20 есть общий делитель чисел 40, 60 и 80. У этих чисел есть и другие общие делители. Назови их!
Общим делителем данных чисел называется такое число, на которое делится каждое из данных чисел.
Общие делители чисел легко найти, если мы выпишем все делители каждого из чисел и затем выясним, какие из них являются общими для данных чисел.
Пример
Найдём общие делители чисел 24 и 36.
Решение
Делители числа 24 есть
делители числа 36 есть
Подчеркнём общие числа в обеих строках.
Вывод: общими делителями чисел 24 и 36 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12, то есть оба числа 24 и 36 делятся на эти числа.
У некоторых чисел единственным общим делителем является число 1. Таковы, например, числа 10 и 21.
Такие числа называются взаимно простыми.
Общие делители можно найти не только для двух или трёх, но и в случае любого количества чисел.
Пример
Найдём общие делители чисел 12, 18 и 60.
Решение
Делителями числа 12 являются
делителями числа 18 являются
делителями числа 60 являются
Ответ: общими делителями чисел 12, 18 и 60 являются 1, 2, 3 и 6.
Наибольший общий делитель
В некоторых задачах требуется найти наибольший из общих делителей данных чисел. На основании последнего примера можно сказать, что наибольшим общим делителем чисел 12, 18 и 60 является число 6.
Наибольший общий делитель данных чисел есть наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.
Для небольших чисел легко найти их наибольший общий делитель методом подбора. В случае бóльших чисел эти числа раскладывают на простые множители.
Пример
Найдём наибольший общий делитель чисел 60 и 84.
Решение
Разложим данные числа на простые множители. Чтобы каждое из заданных чисел делилось на некоторое число, в этом числе должны содержаться общие простые множители данных чисел. Подчеркнём все общие множители в обоих разложениях: 2, 2 и 3.
Искомым наибольшим общим делителем и будет произведение общих множителей:
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12.
Ответ: наибольшим общим делителем чисел 60 и 84 является 12.
В кратком виде это записывают так:
НОД (60; 84) = 12.
Если все данные числа делятся на наименьшее из этих чисел, то это число и является наибольшим общим делителем рассматриваемых чисел.
Пример
НОД (6; 18; 24) = 6, так как все данные числа делятся на 6.
Пример
Найдём наибольший общий делитель чисел 180, 120 и 270.
Как и в случае двух чисел, если даны три или более чисел, разложим их все на простые множители. Затем подчеркнём общие простые множители. В данном примере наибольшим общим делителем чисел является 2 · 3 · 5 = 30.
Ответ: НОД (180; 120; 270) = 30
Упражнения
Задание 4
На праздник классу купили 60 бананов и 40 апельсинов.
Задание 6
Составь из цифр 3, 4, 5 и 6 четыре четырёхзначных чётных числа и найди их наибольший общий делитель. Выполни в тетради.
Математический клуб
Через железнодорожную станцию прошли 3 поезда с участниками певческого праздника. В первом поезде было 462 пассажира, во втором 546 и в третьем 210. Сколько пассажиров было в вагоне, если известно, что в каждом вагоне было одинаковое число пассажиров и это число – наибольшее из возможных? Сколько вагонов было в каждом поезде?
Ответ: в каждом вагоне было пассажира; в первом поезде было вагонов, во втором – , а в третьем – .
- Service provided by Star Cloud LLC