Что нового мы изучим? Математические утверждения

Изучив материал этой главы, ты будешь знать, что означают следующие термины и выражения:

основное понятие, теорема, аксиома, условие теоремы, за­клю­чение (или утверждение) теоремы, доказательство;

а также научишься:

  • определять в простейших случаях понятия, 
  • различать условие и заключение теоремы, 
  • понимать и, с помощью учебника, объяснять первые дока­зательства теорем.
More like this
More options

Определение понятий

В математике, как и в любой другой науке, мы изучаем различные понятия. Математические понятия выражают, например, такие слова, как треугольник, параллелограмм, простое число, натуральное число, уравнение, точка, прямая, сложение, вычитание и т. п. Чтобы понимать изученное и уметь применять его на практике, надо знать, что означают те или иные понятия. Так, например, тебе конечно понятен смысл предложения

Всякое натуральное число делится на число 1,

так как ты знаешь такие понятия, как натуральное число, делится, число 1. В то же время, тебе, по-видимому, будет непонятно предложение

Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника,

так как ты еще не знаком с понятием средняя линия треугольника. Чтобы знать, что означает конкретное понятие, нужно знать определение этого понятия, дающее точный и краткий ответ на вопрос

Что называется...? или Что такое ...?

Ответить на этот вопрос – это значит сформулировать определение понятия, или, короче, определить понятие. Например, на вопрос

Что называется параллелограммом?

дает ответ определение параллелограмма, изученное тобой в 7 классе:

параллелограммом называется четырехугольник, у которого противо­лежащие стороны параллельны.

Мы видим, что параллелограмм определяется посредством поня­тия четырехугольника, а именно, из всех четырехугольников вы­деляются такие, которые обладают специальным свойством (парал­лельность противолежащих сторон). Этим четырехугольникам при­сваивается новое наименование – параллелограмм.

Определение параллелограмма является одним из математических утверждений (предложений или высказываний). Из рисунка видно также, что прямоугольник является частным случаем параллелограмма.

Все понятия, которые исполь­зуются при определении какого-нибудь нового понятия, должны быть известными. Следовательно, они должны быть, определены с помощью каких-то других понятий и т. д. Так возникают целые цепочки понятий. В начале такой цепочки должны находиться те понятия, которые нельзя определить с помощью еще более простых понятий. Их называют основными или неопределяемыми понятиями. Из основных понятий мы будем использовать такие, как точка, прямая, плоскость, число, величина и некоторые другие.

More like this
More options

Упражнения A

Специальных свойств, перечисленных в определении, не должно быть слишком много или же слишком мало.

Пример.

Смежными углами называются два угла, имеющие одну общую сторону.

Здесь слишком мало нужных для этого определения признаков. Такому «определению» удовлетворяют, например, углы 1 и 2 на рисунке А, которые не являются смежными.

Чтобы два угла с общей стороной были смежными, две другие их стороны должны составлять прямую (рисунок Б). корректным является следующее определение:

Смежными углами называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямую.
  1. Две прямые, имеющие только одну общую точку, называются перпендикулярными прямыми.

  1. Высотой треугольника называется отрезок, проведенный из его вершины к противолежащей стороне.

  1. Четырехугольник с равными сторонами называется квадратом.
  2. Диаметром окружности называется отрезок, соединяющий две точки окружности.
  1. Прямоугольным треугольником называется такой треугольник, у которого все углы прямые.
  2. Натуральное число, имеющее только один делитель, назы­вается простым числом.
  3. Составным числом называется натуральное число, имеющее три делителя.
  4. Неправильной дробью называется обыкновенная дробь, чис­литель которой больше знаменателя.
  1. Какой угол называется развернутым?
  2. Какие прямые называются пересекающимися?
  3. Какие прямые называются параллельными?
  1. Какой четырехугольник называется ромбом?
  2. Какое число называется делителем натурального числа?
  3. Какое число называется кратным натуральному числу?
  1. Какая обыкновенная дробь называется правильной?
  2. Что такое сокращение дроби?
  3. Что такое расширение дроби?

Параграф 1.2.

More like this
More options

Упражнения Б

Определение

Корректно ли определение?

Исправление

Простым числом называется натуральное число, имеющее только два делителя.

Окружностью называется линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой определенной точки.

Параллельными прямыми называются прямые, не имеющие общих точек.

Треугольник, все углы которого являются острыми, называется остроугольным треугольником.

Треугольник, все углы которого являются тупыми, называется тупоугольным треугольником.

Определение

Корректно ли определение?

Исправление

Тупым углом называется угол, который больше прямого угла, но меньше полного.

1% = 0,01.

Диаметром окружности называется отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр.

Параллелограммом называется то, что имеет параллельные стороны.

Ломаной называется линия, которая не является прямой.

  1. разносторонний треугольник;
  2. равнобедренный треугольник;
  3. равносторонний треугольник;
  4. перпендикулярные прямые;
  1. многочлен;
  2. подобные слагаемые;
  3. модуль числа.
  1. через прямоугольник;
  2. через ромб.
  1. n = 0;
  2. n = 1;
  3. n – натуральное число, большее единицы.
  • четырехугольник
  • геометрическая фигура
  • прямоугольник
  • параллелограмм
  • квадрат
  • многоугольник

Здесь основным понятием является .

Ответ: на рисунке  четырехугольника, которые не являются прямоугольниками, квадратами или ромбами.

More like this
More options