На рисунке изображен равнобедренный треугольник ABC (равные отрезки отмечены равным числом штрихов). Углы при основании треугольника обозначены греческими буквами α и β (альфа и бета). Сравним эти углы по величине: равны они или нет? Можно ли сделать это при помощи измерения?
Нет, так как никакое измерение (например, с помощью транспортира) не может быть совершенно точным. Более того, невозможно измерить каждый равнобедренный треугольник, так как таких треугольников бесконечное множество. Точный ответ на вопрос может дать только следующее логическое рассуждение.
логикa – от греческого слова рассматриваемый, исследуемый.
Углы обычно обозначают маленькими буквами греческого алфавита
α (альфа),
β (бета),
γ (гамма),
δ (дельта).
- Соединим отрезком вершину C треугольника с точкой D – серединой основания AB. То есть AD = BD (см. рисунок).
- Отрезок DC является общей стороной треугольников ADC и BDC, при этом AC = BC (следует из определения равнобедренного треугольника) и AD = BD. Следовательно, DADC = DBDC (признак ССС).
- α = β, так как у равных треугольников соответствующие углы равны.
Ясно, что проведенное рассуждение подходит к каждому равнобедренному треугольнику. Поэтому можно сделать вывод, что утверждение:
углы при основании равнобедренного треугольника равны
является истинным.
В проведенном рассуждении мы опирались на ранее известные истины:
боковые стороны равнобедренного треугольника равны,
признак равенства треугольников по трем сторонам,
равенство соответственных углов равных треугольников.
Если истинность математического утверждения можно обосновать при помощи ранее известных истинных утверждений, то такое утверждение называют теоремой. Рассуждение, которым обосновывается истинность теоремы, называется доказательством теоремы.
теоремa – от греческого слова утверждение, не вызывающее сомнений.
Утверждения, которые используются при доказательстве теоремы, должны и сами быть доказаны (как более ранние теоремы). Так возникают цепочки, состоящие из теорем. В начале ее стоят утверждения, истинность которых принимается без доказательства.
Утверждения, которые принимаются без доказательства, называются аксиомами. Обычно это простые и интуитивно понятные утверждения.
аксиома – от греческого утверждение, которое без доказательства считают верным.
Аксиомами мы будем считать, например, следующие утверждения:
- число 0 является наименьшим натуральным числом;
- за каждым натуральным числом непосредственно следует только одно натуральное число;
- через две различные точки можно провести только одну прямую;
- любым двум различным точкам A и B соответствует определенное положительное число, а именно: расстояние AB между точками A и B;
- для любых двух точек A и B выполнено равенство AB = BA;
- на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной (аксиома параллельных прямых).
Упражнения A
 |
||||||||
- мальчики измеряли одну и ту же длину, но в противоположных направлениях;
- измерительные линейки были разной длины;
- один из мальчиков ошибся при подсчете сантиметров;
- ошибки при таких измерениях неизбежны, так как линейку приходится многократно прикладывать «на глаз».
Какая из этих причин, на твой взгляд, больше всего повлияла на результаты измерений? По какой причине результаты измерений никогда не могут быть разными?
Например, «невооруженным глазом видно», что вертикальные углы α и β равны.
Учитель объяснил, что на глаз в математике ничего определить нельзя, так как наше зрение может «ошибаться». Чтобы убедиться в этом, изучи следующие задачи.
Сколько кубов ты видишь на рисунке? Переверни рисунок вверх ногами и посмотри еще раз.
Сравни на глаз, а затем при помощи измерения, отрезки a и b.
Например, «невооруженным глазом видно», что вертикальные углы α и β равны.
Учитель объяснил, что на глаз в математике ничего определить нельзя, так как наше зрение может «ошибаться». Чтобы убедиться в этом, изучи следующие задачи.
Определи на глаз, а затем проверь по линейке, равны ли отрезки AD и ВD.
Определи, являются ли параллельными покрытые штрихами прямые. Как проверить ответ?
Например, «невооруженным глазом видно», что вертикальные углы α и β равны.
Учитель объяснил, что на глаз в математике ничего определить нельзя, так как наше зрение может «ошибаться». Чтобы убедиться в этом, изучи следующие задачи.
Определи на глаз, а затем проверь по линейке, лежат ли отрезки AB и CD на одной прямой.
Определи на глаз, а затем проверь по линейке, являются ли АВ и МN отрезками.
- признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (признак СУС);
- признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (признак УСУ) и свойство суммы углов треугольника.
- Вычисли значения выражения n2 – n + 5 для значений n, равных 0; 1; 2; 3; 4. Обрати внимание на то, что все найденные значения являются простыми числами. Можно ли отсюда сделать вывод, что простые числа получаются и тогда, когда n принимает значения 5; 6; 7; …? Убедись, что такое заключение неверно.
- Вычисли значения выражения 2n при значениях n, равных 0; 1; 2; 3; … Каким общим свойством обладают все найденные значения? Почему?
- Вычисли значения выражения 2n + 1 при значениях n, равных 0, 1; 2; 3; … Каким общим свойством обладают все найденные числа? Почему?
Упражнения Б
 |
||||||||
- Юра – брат Коли.
- Коля – брат Юры.
- Маша – сестра Коли.
- Юра – брат Маши.
- Коля старше Юры.
- Маша старше Коли.
- Юра – самый младший и Маша – самая старшая.
- Коля младше Маши.
- Юра, Коля и Маша – дети одной семьи.
Найди среди этих утверждений:
- два утверждения, из которых следуют все остальные;
- три утверждения, из которых следуют все остальные.
 |  |  |  |  | ||
ЧИСЛО | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
ЧИСЛО ЧАСТЕЙ КРУГА | 2 | 4 | 8 | |||
