Системы уравнений

Кроме уравнений, мы уже знакомы и с системами уравнений. Напомним основные приемы, используемые при их решении.

1. Способ подстановки.

Пример 1.

Решим способом подстановки систему уравнений x2+y=33x+y=5.

Для этого выразим переменную y из второго уравнения: y = 5 – 3x и подставим полученное выражение вместо y в первое уравнение. Получим: x2 + 5 – 3x = 3 ⇔ x2 – 3x + 2 = 0, откуда x1 = 1 и x2 = 2.

Соответствующие значения y найдем из уравнения y = 5 – 3x.

y1 = 5 – 3 ⋅ 1 = 2 и y2 = 5 – 3 ⋅ 2 = –1.

Таким образом, решениями системы будут две пары чисел x=1y=2 и x=2y=-1, или (1; 2) и (2; −1).

Проверка показывает, что эти пары действительно являются решениями данной системы уравнений.

Ответ: (1; 2), (2; −1).

2. Способ сложения.

Пример 2.

Решим систему уравнений 4x-2y=2,87x+4y=-2,6 способом сложения.

Для этого сначала умножим обе части первого уравнения на 2 и затем сложим соответствующие части первого и второго уравнений:

4x-2y=2,8 |·27x+4y=-2,68x-4y=5,67x+4y=-2,6   15x         =3, откуда x=0,2.

Теперь подставим найденное значение x в любое из данных уравнений (естественно, в простейшее из них) и найдем значение y:

4 ⋅ 0,2 – 2y = 2,8 ⇔ –2y = 2,8 – 0,8 ⇔ y = –1.

Ответ: (0,2; −1).

Задание 286. Два числа

Задание 287. Координаты точки пересечения прямых

Ответ: координаты точки пересечения этих прямых есть .

Значение найденных координат: 

Задание 288. Координаты точки пересечения линий

Ответ: графиком функции y = x2 + 1 является . Эти линии имеют  точки(у) пересечения.

3. Графический способ.

Пример 3.

Решим графически систему уравнений x-y=1x+3=3y.

Для этого построим в одной и той же системе координат графики функций, заданных этими уравнениями: y = x – 1 y= 1 3 x+1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbnLNCPf gzGaLCVbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xf9Lq=Jc9vqaqpepi0di9fs0=LqLs=Jirpepeeu0=as 0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9qapdbaqaaeGacaWaamaabeqaaqaaba qbaaGcbaGaamyEaiabg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaiodaaaGa amiEaiabgUcaRiaaigdaaaa@4407@ (рис. 3.2).

Решением системы уравнений будут координаты (3; 2) точки пересечения прямых.

Рис. 3.2

Ответ: (3; 2).

Упражнения A

Задание 289. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Задание 290. Взаимное расположение прямой и параболы на плоскости

Задание 291. Системы уравнений
  1. x-2y=95x+y=1

Ответ: 

  1. x-2y=92x-4y=18

Ответ: 

  1. x-2y=92x-4y=7

Ответ: 

Сравните между собой эти системы. Что общее Вы подметили?

В каждой из систем сравните отношения соответствующих коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Задание 292. Решение систем уравнений

x-y=1x+y=3

Ответ: x=y=

-x+2y=8x+4y=10

Ответ: x=y=

5x+6y=-209y+2x=25

Ответ: x=y=

3x+1=8y11y-3x=-11

Ответ: 

4x+1=5x-3y-63x+6y+4=9y+19

Ответ: 

2x-y=1-5x+y+2=x-8y+5

Ответ: 

-5x+2y=715x-6y=-21

Ответ: 

1,2b=2a-5,40,8a+1,4b=7,8

Ответ: 

5x+y+2x-y=153x+y-4x-y=-17

Ответ: 

Задание 293. Система уравнений

При каких значениях параметров a и b решением системы уравненийx-3y=a2x+y=bявляется (-1; 3)?

Ответ: если a =  и b = .

Задание 294. Два числа

Ответ: эти числа есть  и .

Задание 295. Разбиение числа в сумму двух слагаемых

Ответ: подходящие слагаемые есть  и .

Задание 296. Смежные углы

Ответ: x°; y°.

Задание 297. Решение систем уравнений

x2+y2=5x+y=3

Ответ: (;) и (;)

x2+xy=2y-3x=7

Ответ: (;) и (;)

y-x2=0x+y=6

Ответ: (;) и (;)

xy=12x+2y=10

Ответ: (;) и (;)

x+y=1xy=-30

Ответ: (;) и (;)

x2+y2=25x2-y=5

Ответ: (;), (;) и (;)

y=x2-8x-y=2

Ответ: (;) и (;)

y+3=2xx2-2x-y=3

Ответ: (;) и (;)

x2-y=143x+y=4

Ответ: (;) и (;)

Задание298. Точки пересечения прямой и параболы

Ответ: координаты точек пересечения есть

  и .

Задание 299. Точки пересечения парабол

Ответ: координаты точек пересечения есть  и.

Задание 300. Размен денег

Ответ: использовали  купюр в 10 евро.

Задание 301. Билеты на школьный праздник

Ответ: было продано  билетов для взрослых.

Задание 302. Заказ сыра

Ответ: сыра по цене 10,5 €/кг нужно заказать  кг, а сыра по цене 12,5 €/кг следует заказать  кг.

Задание 303. Черника и земляника

Ответ: килограмм черники стоил  €, а килограмм земляники –  €.

Задание 304. Составление текстовой задачи

x+y=364x+2y=100.

Решите эту задачу.

Ответ: 

2x+3y=382x+2y=28.

Решите эту задачу.

Ответ: 

Упражнения Б

Задание 305. Решение системы уравнений

x+62-9-y2=x+yx-y+274x - y10+4x - 6y15=1

Ответ: .

x+y2=7xy2=12

Ответ: ; ; ; .

x3+y3=27x2-xy+y2=9

Ответ: ; .

xy+x+y=11x2y+y2x=30

Ответ:; ; ; .

x2+y2=7+xyxy=6

Ответ:; ; ; .

Задание 306. Значения параметра

Ответ: b или b.

Задание 307. Значения параметра

Ответ: a или a.

Задание 308. Значения параметра

Ответ: k или k.