Условие равенства и линейные операции для векторов, заданных своими координатами

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

Линейными операциями с векторами называют сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

1. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ. Как мы знаем, два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Рассмотрим теперь, как установить, что два вектора равны, если эти векторы заданы своими координатами.

Пусть $\vec{u} = (X_{1}; Y_{1})$ и $\vec{v} = (X_{2}; Y_{2})$ . Так как $\vec{u} = X_{1} \vec{i} + Y_{1} \vec{j}$ и $\vec{v} = X_{2} \vec{i} + Y_{2} \vec{j}$ , то из условия $\vec{u} = \vec{v}$ следует, что

$X_{1} \vec{i} + Y_{1} \vec{j} = X_{2} \vec{i} + Y_{2} \vec{j}$ или $(X_{1} - X_{2}) \vec{i} + (Y_{1} - Y_{2}) \vec{j} = \vec{0}$ .

Координаты нулевого вектора $\vec{0}$ равны нулю, следовательно,

$X_{1} - X_{2} = 0$ и $Y_{1} - Y_{2} = 0$ или $X_{1} = X_{2}$ , $Y_{1} = Y_{2}$ .

Таким образом,

если векторы равны, то равны и их соответствующие координаты.

Верно и обратное утверждение:

если соответствующие координаты векторов равны, то равны и эти векторы.

Пример 1.

Для того чтобы векторы \vec{a}=\left(k;\ 1\right) и \vec{b}=\left(4;\ m\right) были равными, должны выполняться равенства k = 4 и 1 = m, т. е. координаты обоих векторов должны быть (4; 1).

Найдите значения параметров m и n, при которых \vec{a}=\vec{b}.

\vec{a}	\vec{b}	m	n
(5; –3)	(m – 5; n)
(m²; 2)	(4; n + 2)	или
(0; –1)	(n; m² + 3)
(m; n)	(–m; n²)		или

2. СУММА ВЕКТОРОВ. Пусть векторы

\vec{a}

\vec{b}

заданы своими координатами:

\vec{a} = (X_{1}; Y_{1})

\vec{b} = (X_{2}; Y_{2})

Найдем координаты суммы $\vec{a} + \vec{b}$ :

$\vec{a} + \vec{b}$ = $(X_{1} \vec{i} + Y_{1} \vec{j}) + (X_{2} \vec{i} + Y_{2} \vec{j})$ = $(X_{1} + X_{2}) \vec{i} + (Y_{1} + Y_{2}) \vec{j}$ .

Мы выразили вектор $\vec{a} + \vec{b}$ через векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ . Следовательно, координатами этого вектора являются числа $X_{1} + X_{2}$ и $Y_{1} + Y_{2}$ как соответствующие коэффициенты при $\vec{i}$ и $\vec{j}$ .

Если $\vec{a} = (X_{1}; Y_{1})$ и $\vec{b} = (X_{2}; Y_{2})$ , то $\vec{a} + \vec{b} = (X_{1} + X_{2}; Y_{1} + Y_{2})$ .
Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых.

Пример 2.

Если \vec{u}=\left(5;\ -8\right), \vec{v}=\left(2;\ 1\right), то\vec{u}+\vec{v} = \left(5;\ -8\right)+\left(2;\ 1\right) = \left(5+2;\ -8+1\right) = \left(7;\ -7\right).

\vec{a}=\left(4;\ -5\right), \vec{b}=\left(3;\ 1\right)\vec{a}+\vec{b} = (; )

\vec{c}=\left(1,2;\ 0,8\right), \vec{e}=\left(0,8;\ -1,2\right)\vec{c}+\vec{e} = (; )

\vec{s}=\left(2a;\ -b\right), \vec{t}=\left(-a;\ -4b\right)\vec{s}+\vec{t} = (; )

\vec{k}=\left(-a;\ b+4\right), \vec{m}=\left(a;\ -b\right)\vec{k}+\vec{m} = (; )

\vec{u}=\left(0;\ -8\right), \vec{v}=\left(-9;\ 10\right)\vec{u}+\vec{v} = (; )

\vec{p}=\left(-2;\ 11\right), \vec{q}=\left(2;\ -11\right)\vec{p}+\vec{q} = (; )

\vec{d}=\left(0;\ 0\right), \vec{f}=\left(4;\ -3\right)\vec{d}+\vec{f} = (; )

\vec{g}=\left(4;\ -5\right), \vec{h}=\left(4;\ -5\right)\vec{g}+\vec{h} = (; )

3. РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ. Для разности векторов

\vec{a} = (X_{1}; Y_{1})

\vec{b} = (X_{2}; Y_{2})

получим аналогично:

$\vec{a} - \vec{b}$ = $(X_{1} \vec{i} + Y_{1} \vec{j}) - (X_{2} \vec{i} + Y_{2} \vec{j})$ = $(X_{1} - X_{2}) \vec{i} + (Y_{1} - Y_{2}) \vec{j}$ .

Если $\vec{a} = (X_{1}; Y_{1})$ и $\vec{b} = (X_{2}; Y_{2})$ , то $\vec{a} - \vec{b} = (X_{1} - X_{2}; Y_{1} - Y_{2})$ .
Координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат уменьшаемого и вычитаемого.

Пример 3.

Найдем \vec{u}-\vec{v}, если \vec{u}=\left(5;\ -8\right), \vec{v}=\left(2;\ 1\right).\vec{u}-\vec{v} = \left(5;\ -8\right)-\left(2;\ 1\right) = \left(5-2;\ -8-1\right) = \left(3;\ -9\right).Таким образом, \vec{u}-\vec{v}=\left(3;\ -9\right).

\vec{a}=\left(4;\ -5\right), \vec{b}=\left(3;\ 1\right)\vec{a}-\vec{b} = (; )

\vec{c}=\left(1,2;\ 0,8\right), \vec{e}=\left(0,8;\ -1,2\right)\vec{c}-\vec{e} = (; )

\vec{s}=\left(2a;\ -b\right), \vec{t}=\left(-a;\ -4b\right)\vec{s}-\vec{t} = (; )

\vec{k}=\left(-a;\ b+4\right), \vec{m}=\left(a;\ -b\right)\vec{k}-\vec{m} = (; )

\vec{u}=\left(0;\ -8\right), \vec{v}=\left(-9;\ 10\right)\vec{u}-\vec{v} = (; )

\vec{p}=\left(-2;\ 11\right), \vec{q}=\left(2;\ -11\right)\vec{p}-\vec{q} = (; )

\vec{d}=\left(0;\ 0\right), \vec{f}=\left(4;\ -3\right)\vec{d}-\vec{f} = (; )

\vec{g}=\left(4;\ -5\right), \vec{h}=\left(4;\ -5\right)\vec{g}-\vec{h} = (; )

На векторах \vec{a}=\left(-1;\ 4\right) и \vec{b}=\left(-2;\ 0\right), как на сторонах, построен параллелограмм. Выразите диагонали параллелограмма и вычислите их длины.

Ответ: длины диагоналей параллелограмма равны и .

4. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО. Найдем координаты вектора

k \vec{a}

, если

\vec{a} = (X; Y)

$k \vec{a}$ = $k \cdot (X \vec{i} + Y \vec{j})$ = $(k X) \vec{i} + (k Y) \vec{j}$ .

Если $\vec{a} = (X; Y)$ , то $k \vec{a} = (k X; k Y)$ .
Чтобы умножить вектор на число, нужно умножить на это число каждую из координат вектора.

Пример 4.

Найдем вектор -5\vec{a}, если \vec{a}=\left(-2;\ 4\right).Получим: -5\vec{a} = \left(-5\cdot\left(-2\right);\ -5\cdot4\right) = \left(10;\ -20\right).

Если

\vec{a} = (X; Y)

, то противоположным ему вектором является вектор

$- \vec{a} = (- 1) \cdot \vec{a} = (- X; - Y)$ .

Таким образом,

координаты вектора противоположны координатам противоположного ему вектора.

Пример 5.

Вектором, противоположным вектору \vec{w}=\left(-1;\ 4\right), является вектор -\vec{w}=\left(1;\ -4\right).

\vec{a}=\left(4;\ -5\right), \vec{b}=\left(3;\ 1\right), \vec{x}=2\vec{a}-\vec{b}\vec{x} = (; )

\vec{c}=\left(1,2;\ 0,8\right), \vec{e}=\left(0,8;\ -1,2\right), \vec{a}=1,5\vec{c}+2,5\vec{e}\vec{a} = (; )

\vec{s}=\left(2a;\ -b\right), \vec{t}=\left(-a;\ -4b\right), \vec{v}=2\left(\vec{s}+\vec{t}\right)+\vec{t}\vec{v} = (; )

\vec{k}=\left(-a;\ b+4\right), \vec{m}=\left(a;\ -b\right), \vec{c}=5\vec{k}-2,5\vec{m}\vec{c} = (; )

\vec{u}=\left(0;\ -8\right), \vec{v}=\left(-9;\ 10\right), \vec{y}=0,25\vec{u}+2\vec{v}\vec{y} = (; )

\vec{p}=\left(-2;\ 11\right), \vec{q}=\left(2;\ -11\right), \vec{u}=2\vec{p}-3\vec{q}+0\cdot\vec{c}\vec{u} = (; )

\vec{d}=\left(0;\ 0\right), \vec{f}=\left(4;\ -3\right), \vec{p}=b\vec{d}+b\vec{f}+4\vec{f}\vec{p} = (; )

\vec{g}=\left(4;\ -5\right), \vec{h}=\left(4;\ -5\right), \vec{b}=-3\left(\vec{g}-\vec{h}\right)+2\vec{h}\vec{b} = (; )

Найдите координаты суммы \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} для векторов, изображенных на рисунке 3.39.

Рис. 3.39

\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = (; )

5. КОЛЛИНЕАРНОСТЬ ВЕКТОРОВ. Как мы уже знаем, векторы \vec{a} и \vec{b}=k\vec{a} коллинеарны. Обратно, если векторы \vec{a} и \vec{b} коллинеарны (и \left|\vec{a}\right|\ne0), то найдется такое число k, что \vec{b}=k\vec{a}. Выясним, как выражается условие коллинеарности векторов в координатах.Пусть

\vec{a} = (X_{1}; Y_{1})

\vec{b} = (X_{2}; Y_{2})

. Так как \vec{b}=k\vec{a}, то

X_{2} = k X_{1}

Y_{2} = k Y_{1}

. Из этих равенств получаем, что

k = \frac{X_{2}}{X_{1}}

k = \frac{Y_{2}}{Y_{1}}

, откуда, в свою очередь,

$\frac{X_{2}}{X_{1}} = \frac{Y_{2}}{Y_{1}}$ .
Коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты.

Справедливо и обратное утверждение:

если координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.

Пример 6.

Выясним, какие из векторов \vec{a}=\left(-6;\ 4\right), \vec{b}=\left(3;\ -2\right), и \vec{c}=\left(12;\ 8\right)коллинеарны, а какие нет.Так как для векторов \vec{a} и \vec{b} выполнено равенство \frac{-6}{3}=\frac{4}{-2}, то \vec{a}\ \parallel\ \vec{b}, т. е. эти векторы коллинеарны.Поскольку \vec{a}=-2\vec{b}, то мы получаем дополнительно, что векторы \vec{a} и \vec{b} противоположно направлены: \vec{a}\ \uparrow\downarrow\ \vec{b}.Векторы \vec{a} и \vec{c}, а также \vec{b} и \vec{c} не являются коллинеарными, поскольку \frac{-6}{12}\ne\frac{4}{8} и \frac{3}{12}\ne\frac{-2}{8}.

$\vec{a} = (4; - 5)$ , $\vec{b} = (3; 1)$
$\vec{u} = (0; - 8)$ , $\vec{v} = (- 9; 10)$
$\vec{c} = (1,2; 0,8)$ , $\vec{e} = (0,8; - 1,2)$
$\vec{p} = (- 2; 11)$ , $\vec{q} = (2; - 11)$

$\vec{s} = (2 a; - b)$ , $\vec{t} = (- a; - 4 b)$
$\vec{d} = (0; 0)$ , $\vec{f} = (4; - 3)$
$\vec{k} = (- a; b + 4)$ , $\vec{m} = (a; - b)$
$\vec{g} = (4; - 5)$ , $\vec{h} = (4; - 5)$

Найдите три различных вектора, коллинеарных вектору \vec{u}=\left(-12;\ 9\right).

\vec{a}=\left(-5;\ 4\right), \vec{b}=\left(10;\ Y\right)
Y =

\vec{u}=\left(0,5;\ 1,2\right), \vec{v}=\left(X;\ 4,8\right)
X =

\vec{p}=\left(1;\ -2\right), \vec{q}=\left(0,23;\ Y\right)
Y =

\vec{s}=\left(X;\ 5\right), \vec{t}=\left(3;\ 4\right)
X =

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Условие равенства и линейные операции для векторов, заданных своими координатами

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).

Check to help us fight spam

Opiq uses cookies