Funktsiooni mõiste. Määramis­piirkond ja muutumis­piirkond

Eelnevas vaatlesime sõltuvusi

y=ax, y=\frac{a}{x}, y=ax+b ja y=ax^2+bx+c.

Ühine kõigile vaadeldud sõltuvustele on see, et on teada valem, mille järgi saame x igale väärtusele seada vastavusse y väärtuse. Teisiti öeldes, x ja y on oma­vahel seotud mingi kindla reegli järgi.

Meid ümbritsevas elus on mitme­suguseid vastavusi:

  • igale inimesele vastab tema vanus aastates;
  • igale Eesti Vabariigi kodanikule vastab tema isiku­kood;
  • igale 11. klassi õpilasele vastab kindel järje­number klassi nime­kirjas;
  • igale 11. klassi õpilasele vastab üks matemaatika hinne 10. klassi tunnistusel;
  • igale autole vastab tähtedest ja numbritest koosnev registreerimis­märk;
  • igale ringile raadiusega r vastab kindel ringi pindala S jne.

Esitatud vastavuste puhul on alati tegemist kahe suurusega (näiteks inimene ja tema vanus, ringi raadius r ja ringi pindala S). Need suurused võivad omandada erinevaid väärtusi mingist hulgast. Näiteks inimeste vanuste korral kuulub üks suurus (inimene) Maal elavate inimeste hulka, teise suuruse (vanus) väärtused kuuluvad naturaal­arvude hulka.

Kui x tähistab suvalist elementi mingist suuruste hulgast, siis öeldakse, et x on muutuv suurus ehk muutuja. Seega on vaadeldud vastavuste puhul tegemist kahe muutuva suurusega. Kui muutub üks nendest suurustest, siis muutub ka teine suurus. Näiteks kui valime välja õpilase A, vastab temale üks järje­number klassi nime­kirjast; kui valime teise õpilase B, vastab temale juba teine number jne. Ühte kahest vaadeldavast suurusest me muudame ise, kuid teine suurus muutub esimesest sõltuvalt.

Muutujat, millele me võime ise teatud hulgast vabalt väärtusi anda, nimetatakse sõltumatuks muutujaks. Muutujat, mille väärtused leitakse vastavalt sõltumatu muutuja väärtustele, nimetatakse sõltuvaks muutujaks.

Näiteks ringi raadiust r võime vaadelda sõltumatu muutujana ja selle ringi pindala S sõltuva muutujana, mille väärtus arvutatakse sõltuvalt r väärtusest ees­kirja S = πr2 järgi. On olemas kindel ees­kiri, mille alusel igale Eesti Vabariigi kodanikule (sõltumatu muutuja) seatakse vastavusse tema isiku­kood (sõltuv muutuja).

Mõned suurused meid ümbritsevas elus on sellised, mis küll mõlemad muutuvad, kuid ühe suuruse ette­antud väärtus ei määra veel teise suuruse väärtust. Näiteks ei saa täpselt määratleda, kuidas on seotud inimese pikkuse muutumine ja tema keha­kaalu muutumine või matemaatika õppimiseks kulutatud aeg ja saadud hinne.

Enamik ees­pool vaadeldud vastavustest olid aga sellised, et nii­pea kui sõltumatu muutuja väärtus on teada, on sõltuva muutuja väärtus üheselt määratud. Selliseid vastavusi nimetatakse funktsioonideks.

Funktsiooniks nimetatakse vastavust (ees­kirja), mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgast X vastavusse sõltuva muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y.

Hulka X nimetatakse funktsiooni määramis­piirkonnaks. Hulk Y, millesse kuuluvad sõltuva muutuja väärtused, peab sisaldama kõiki neid y väärtusi, mis vastavad kõik­võimalikele x väärtustele määramis­piirkonnast X. Järgnevas eeldame, et muid elemente hulk Y ei sisalda, s.t hulga Y iga element vastab mingile x ∈ X väärtusele. Sel juhul on hulk Y funktsiooni muutumis­piirkond (joonis 2.23).

Joon. 2.23

Funktsiooni määramis­piirkond X on sõltumatu muutuja ehk argumendi x väärtuste hulk.
​Funktsiooni muutumis­piirkond Y on sõltuva muutuja y väärtuste ehk funktsiooni väärtuste hulk.

Järgnevates pea­tükkides vaadeldakse selliseid funktsioone, kus X ja Y on arvu­hulgad.

Funktsiooni esitavat vastavust märgitakse üles järgmiselt: y = f (x), kus x ∈ X ja y ∈ Y ning f on ees­kiri, mille kohaselt argumendi igale väärtusele seatakse vastavusse funktsiooni väärtus. Vastavust võib tähistada ka teiste tähtedega, näiteks y = g(x).

Suurus f (x) tähistab funktsiooni f väärtust, mis vastab argumendi väärtusele x.

Kirjutis f (a) tähistab funktsiooni y = f (x) väärtust, kui argument x = a.

Kui funktsiooni määramis­piirkonda pole eraldi antud, siis moodustavad määramis­piirkonna kõik need arvud, mille korral funktsiooni väärtus f (x) on leitav.

Näide 1.

On antud hulgad X = {1; 2; 3; 4; 5} ja Y = {6; 7; 8; 9; 10}. Sel juhul on hulgal X määratud näiteks funktsioon f (x) = x + 5. Selle funktsiooni määramis­piirkond X ja muutumis­piirkond Y koosnevad mõlemad 5 elemendist.

Näide 2.

Funktsiooni f (x) = 2x – 1 määramis­piirkonnaks on kogu reaal­arvude hulk R, sest f (x) väärtust on võimalik leida x mis tahes reaal­arvulise väärtuse korral. Näiteks f (0) = 2 · 0 – 1 = –1; f (1) = 2 · 1 – 1 = 1 jne. Vaadeldava funktsiooni muutumis­piirkonnaks on samuti kogu reaal­arvude hulk R. Veenduge selles funktsiooni graafiku abil.

Näide 3.

Funktsiooni y=\frac{5}{x} määramis­piirkonda kuuluvad kõik reaal­arvud peale nulli. Kui x = 0, pole y väärtus arvutatav. Seega X=\left(-∞;\ 0\right)\cup\left(0;\ ∞\right).

Näide 4.

Funktsiooni y=\sqrt{x-8} määramis­piirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral x – 8 ≥ 0, sest ruut­juurt saab leida vaid mitte­negatiivsetest arvudest. Seega X=\left[8;\ ∞\right).

Näide 5.

Teema 2 alguses käsitletud jadasid võib samuti vaadelda kui funktsioone, sest igale naturaal­arvule n ≥ 1 seatakse jadas mingi ees­kirja järgi vastavusse an. Seega

jada on funktsioon, mille määramis­piirkonnaks on positiivsete naturaal­arvude hulk.

More like this
More options

Ülesanded A

Ülesanne 437. Funktsioon
  • sõidu­pileti hind ja sõidetava tee pikkus;
  • ruudu külg ja ruudu pindala;
  • vask­juhtme pikkus ja juhtme temperatuur;
  • vee­rõhk all­vee­laevale ja all­vee­laeva sügavus;
  • auto kiirus ja paagis oleva bensiini kogus;
  • ühtlase liikumise algusest möödunud aeg ja läbitud tee pikkus.
Ülesanne 438. Funktsiooni väärtus

f (0) =  = 

f (–1) =  = 

f (0,5) =  = 

f (–3) =  = 

Ülesanne 439. Temperatuuri mõõtmine
  • Millise kahe muutujaga on tegemist?
  • Kumb on sõltumatu ja kumb sõltuv muutuja?
    Vastus. Sõltumatu muutuja on  ja sõltuv muutuja on .
  • Kas on tegemist funktsiooniga? Miks? Jaatava vastuse korral leidke hulgad X ja Y.
Ülesanne 440. Funktsiooni määramis­piirkond

y=17-3x
X = 

y=x^2+3x
X = 

y=\sqrt{8-x}
X = 

y=\sqrt{3x+6}
X = 

y=\frac{15}{x+1}
X = 

y=\frac{x-1}{x^2+x}
X = 

y=\frac{1}{1-x^2}
X = 

y=\frac{\sqrt{x^2+6x}}{x}
X = 

y=\frac{x-6}{\sqrt{x^2-1}}
X = 

y=\sqrt{x^2-3x+2}
X = 

y=\frac{3}{x-5}+\frac{x}{2x\left(x+5\right)}
X = 

More like this
More options

Ülesanded B

Ülesanne 441. Funktsiooni määramis­piirkond

y=\frac{3}{x+1}+\sqrt{x}
X = 

y=\sqrt{\frac{x-x^2}{2x+4}}
X = 

y=\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{3+x}}
X = 

y=\sqrt[3]{x+8}-\sqrt{x-5}
X = 

y=\sqrt{\frac{x^2-5x+6}{6+3x-3x^2}}
X = 

y=\sqrt{x^2+5x}-\frac{x}{\sqrt{6-x}}
X = 

y=\sqrt{\frac{x^2+4}{x-7}}
X = 

y=\sqrt{1-x^2}+\frac{2-x}{13+5x}
X = 

More like this
More options