Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Funktsiooni ekstreemumkohad

Jätkame funktsioonide omaduste uurimist. Kui argumendi väärtused järjest suurenevad, s.t kui liigume x-teljel vasakult paremale, siis võivad funktsiooni väärtused suureneda (kasvada) (joonis 2.35a), väheneda (kahaneda) (joonis 2.35b), muutuda vaheldumisi (kord kasvada, kord kahaneda või vastupidi) ja olla ka muutumatud (konstantsed).

Joon. 2.35

Funktsiooni y = f (x) nimetatakse kasvavaks vahemikus (a; b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad:
kui x₁ < x₂, siis ka f (x₁) < f (x₂).

Funktsiooni y = f (x) nimetatakse kahanevaks vahemikus (a; b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused vähenevad:
kui x₁ < x₂, siis ka f (x₁) > f (x₂).

Maksimaalse pikkusega vahemikku, milles funktsioon kasvab, nimetatakse funktsiooni kasvamisvahemikuks, maksimaalse pikkusega vahemikku, milles funktsioon kahaneb, nimetatakse funktsiooni kahanemisvahemikuks.

Funktsiooni kasvamisvahemiku tähis on X\uparrow ja kahanemisvahemiku tähis X\downarrow.

Näide 1. Joonisel 2.36 esitatud funktsioonil on kolm kasvamisvahemikku (joonis 2.36a) ja kaks kahanemisvahemikku (joonis 2.36b):X_1\uparrow=\left(-∞;\ -0,5\right), X_2\uparrow=\left(2,5;\ 6\right), X_3\uparrow=\left(8;\ ∞\right).X_1\downarrow=\left(-0,5;\ 2,5\right), X_2\downarrow=\left(6;\ 8\right).

Joon. 2.36

Näide 2. Funktsioon y = –x² (joonis 2.37a) kasvab vahemikus (–∞; 0) ja kahaneb vahemikus (0; ∞). Seega X\uparrow=\left(-∞;\ 0\right) ja X\downarrow=\left(0;\ ∞\right).

Joon. 2.37

Funktsioon y=-\frac{2}{3}x+2 on kogu oma määramispiirkonnas kahanev (joonis 2.37b). Seega X\uparrow=\varnothing, X\downarrow=X ehk X\downarrow=\left(-∞;\ ∞\right) ehk X↓ = R.

Funktsioone, mille kasvamisvahemik ühtib määramispiirkonnaga, nimetatakse kasvavateks funktsioonideks.Funktsioone, mille kahanemisvahemik ühtib määramispiirkonnaga, nimetatakse kahanevateks funktsioonideks.

Vaatleme nüüd argumendi neid väärtusi, kus funktsiooni kasvamine asendub kahanemisega või vastupidi. Näiteks joonisel 2.36 on nendeks argumendi väärtused –0,5; 2,5; 6 ja 8. Näeme, et kohal, kus kasvamine asendub kahanemisega, on funktsioonil suurim väärtus, võrreldes naaberväärtustega. Kohal, kus kahanemine asendub kasvamisega, on funktsioonil vähim väärtus, võrreldes naaberväärtustega. Need väärtused ei tarvitse olla funktsiooni suurimad või vähimad väärtused funktsiooni kogu määramispiirkonna ulatuses, vaid argumendi vastava väärtuse ümbruses.

Koha a ümbruse all mõistame iga vahemikku (a – ε, a + ε), mis sisaldab vaadeldavat kohta a ja ε on kui tahes väike positiivne arv (joonis 2.38). Näiteks koha x₀ = 3 ümbruseks võib olla vahemik (2; 4), aga ka vahemik (2,5; 3,5).

Joon. 2.38

Kohal x₀ on funktsioonil y = f (x) maksimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x₀ mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x₀) ≥ f (x). Kohal x₀ on funktsioonil y = f (x) miinimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x₀ mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x₀) ≤ f (x).

Funktsiooni - ja nimetatakse ühise nimega funktsiooni . Funktsiooni ekstreemumkohtade hulka tähistatakse sümboliga X_e. nimetatakse funktsiooni ekstreemumiks.Näiteks joonisel 2.36 esitatud funktsioonil on maksimum kohal x = –0,5 ja kohal x = 6; miinimum on kohal x = 2,5 ja kohal x = 8. Näites 2 esitatud lineaarfunktsioonil y=-\frac{2}{3}x+2 ekstreemumkohad puuduvad.

Näide 3.

Joonisel 2.39 esitatud funktsioonil on kuus ekstreemumkohta, kusjuures maksimumid on kohtadel x₁, x₃ ja x₅, miinimumid on kohtadel x₂, x₄ ja x₆.

Joon. 2.39

Näide 4. Uurime funktsiooni y = x² – 2x – 3. Selleks joonestame funktsiooni graafiku. Graafikuks on parabool, mille nullkohad on x₁ = 3 ja x₂ = –1. Parabooli haripunkt on kohal x_h=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1, haripunkti ordinaat y_h=1^2-2-3=-4 (joonis 2.40).

Joon. 2.40

Jooniselt näeme, et funktsioon kahaneb, kui x < 1, ja kasvab, kui x > 1. Kohal x = 1 on funktsioonil miinimum ja see on –4. Seega on vaadeldava funktsiooni muutumispiirkond Y = [–4; ∞).Kirjutame välja uuritava funktsiooni kõik omadused, millega oleme seni tutvunud:X=\left(-∞;\ ∞\right), Y=\left[-4;\ ∞\right), X_0=\left\{-1;\ 3\right\}, X^+=\left(-∞;\ -1\right)\cup\left(3;\ ∞\right), X^-=\left(-1;\ 3\right), X\uparrow=\left(1;\ ∞\right), X\downarrow=\left(-∞;\ 1\right), x_{\min}=1, H(1; –4).

Funktsiooni graafikult saadud tulemused funktsiooni omaduste kohta võivad olla mõnevõrra ebatäpsed. Täpsemaid meetodeid funktsiooni uurimiseks vaatleme õpiku 4. ja 5. teemas.

Ülesanded A

Ülesanne 458. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning ekstreemumkohad

Joon. 2.41a

X\uparrow = X_1\downarrow = X_2\downarrow = X_e = x_{\min} = x_{\max} =

Joon. 2.41b

X_1\uparrow = X_2\uparrow = X_1\downarrow = X_2\downarrow= X_e = x_{\min} = x_{\max} = jax_{\max} =

Joon. 2.41c

X\uparrow = X_1\downarrow = X_2\downarrow = X_e = x_{\min} = x_{\max} =

Joon. 2.41d

X_1\uparrow = X_2\uparrow = X_1\downarrow = X_2\downarrow = X_3\downarrow = X_e = x_{\min} = jax_{\min} =

x_{\max} = jax_{\max} =

Ülesanne 459. Funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond, kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning ekstreemumkohad

y=x^3-2x^2

Vastus. X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = ; X_e = .

y=-2x^3-3x^2+x

Vastus. X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X_1\downarrow = ; X_2\downarrow = ; X_e = .

y=x^3+x-6

Vastus. X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_e = .

Ülesanne 460. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning ekstreemumkohad

Funktsioon	y=2x+7	y=-4x+1	y=4-x	y=3x-6
Kasvamisvahemikud
Kahanemisvahemikud
Ekstreemumkohad
Kasvav või kahanev?

Missugustel tingimustel on lineaarfunktsioon y = ax + b kasvav, missugusel kahanev?

Funktsioon	X\uparrow	X\downarrow	X_e
y=x^2-5x
y=4+3x-x^2
y=-\left(x-1\right)\left(x-7\right)
y=x^2+2x+10

Funktsioon	y=\frac{3}{x}	y=-\frac{5}{x}
Kasvamisvahemikud	ja	ja
Kahanemisvahemikud	ja	ja
Ekstreemumkohad
Kasvav või kahanev?