Mõningaid erilisi piirväärtuseid

Piirväärtused $lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ ja $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}$

1. Matemaatikas on mõningatel piirväärtustel eriline tähendus. Üheks selliseks on jadaga, mille üldliige on a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, seotud piirprotsesskui n\to∞, siis \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to eehk piirväärtus $lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e$ , kus n ∈ N.

Võtame tõestuseta teadmiseks, et ka reaalarvulise muutuja korral

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$ , x ∈ R.

Teades seda piirväärtust, saab näidata, et $\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{r}{x})}^{x} = e^{r}$ ja $\lim_{x \to - \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$ .

Tõepoolest,

$\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{r}{x})}^{x}$ = $\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{\frac{x}{r}})}^{\frac{x}{r} \cdot r}$ = $\lim_{\frac{x}{r} \to \infty} {[{(1 + \frac{1}{\frac{x}{r}})}^{\frac{x}{r}}]}^{r}$ = $\lim_{u \to \infty} {[{(1 + \frac{1}{u})}^{u}]}^{r}$ = e^r ja

$\lim_{x \to - \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ = $\lim_{u \to \infty} {(1 + \frac{1}{- u})}^{- u}$ = $\lim_{u \to \infty} {[{(1 + \frac{- 1}{u})}^{u}]}^{- 1}$ = \left(e^{-1}\right)^{-1} = e.

Näide 1.

$\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{3}{x})}^{x} = e^{3}$ ,
$\lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x})}^{x}$ = $\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{- 1}{x})}^{x}$ = e^–1.

2. Leiame piirväärtuse $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ .

Ülesande 804 lahendamisel võisime veenduda, et

\frac{\sin x}{x}\to1, kui x\to0,ehk

lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1

Tõestame selle võrduse. Joonestame ringi, mille raadius on r, ja sellesse kesknurga ∠AOB = x rad, kus 0<x<\frac{\pi}{2} (joonis 4.3).

Joon. 4.3

Ühendame punktid A ja B ning tõmbame tekkinud kolmnurga AOB kõrguse BC. Seejärel joonestame täisnurkse kolmnurga AOD, kus AO ⊥ AD.Kolmnurga AOB pindala S₁, sektori AOB pindala S₂ ja kolmnurga AOD pindala S₃ on seotud võrratustegaS_1<S_2<S_3.

Avaldame need pindalad ringi raadiuse r ja kesknurga x kaudu. Kolmnurgas COB on CB=r\cdot\sin x jaS_1 = \frac{AO\cdot CB}{2} = \frac{r\cdot r\cdot\sin x}{2} = 0,5r^2\sin x.Sektori pindalaS_2=0,5xr^2.Kolmnurgas AOD on AD=AO\cdot\tan x=r\cdot\tan x jaS_3 = \frac{AO\cdot AD}{2} = \frac{r\cdot r\cdot\tan x}{2} = 0,5r^2\tan x.Et S_1<S_2<S_3, siis0,5r^2\sin x<0,5r^2x<0,5r^2\tan xehk\sin x<x<\tan x.Kuna sin x > 0, siis saame viimaste võrratuste jagamisel avaldisega sin x võrratused1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}, millest 1>\frac{\sin x}{x}>\cos x.Kui nüüd x\to0, siis \cos x\to1 ning suurus \frac{\sin x}{x} jääb arvu 1 ja arvule 1 läheneva suuruse vahele. Järelikult\frac{\sin x}{x}\to1, kui x\to0, ehk

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Tuletamisel eeldasime, et x > 0. Saab näidata, et ka x < 0 korral on tulemus sama. Seega

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

Näide 2.

Leiame $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ .

Kui x\to0, on tegemist määramatusega \frac{0}{0}. Vabaneme sellest: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ = $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$ = $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}$ = 1\cdot\frac{1}{1} = 1.Seega $lim_{x \to 0} \frac{tan x}{x} = 1$ .

Näide 3.

Leiame $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3 x}{2 x}$ .

Ka siin on tegemist määramatusega \frac{0}{0}. Vaatleme kahte võimalust sellest vabanemiseks.

Tähistame u=3x, siis x=\frac{u}{3}. Kui x\to0, siis u\to0. Järelikult $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3 x}{2 x}$ = $\frac{1}{2} \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{\frac{u}{3}}$ = $\frac{1}{2} \lim_{u \to 0} \frac{3 \sin u}{u}$ = $\frac{3}{2} \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u}$ = \frac{3}{2}.
Leiame piirväärtuse järgmiselt: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3 x}{2 x}$ = $\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3 x}{3 x}$ = $\frac{3}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3 x}{3 x}$ = $\frac{3}{2} \cdot \lim_{3 x \to 0} \frac{\sin 3 x}{3 x}$ = \frac{3}{2}\cdot1 = \frac{3}{2}.

Seosest, kui x\to0, siis \frac{\sin x}{x}\to1 ehk võrdusest

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

järeldub, et küllalt väikeste \left(x\to0\right) radiaanides mõõdetud nurkade x korral on \frac{\sin x}{x}\approx1 ehk

sin x ≈ x, kui x on küllalt väike nurk radiaanides.

Näide 4. 1) sin 0,0504 ≈ 0,05038; 2) sin 0,0023 ≈ 0,002299998.

Näite 2 põhjal saame, et

tan x ≈ x, kui x on küllalt väike nurk radiaanides.

Praktiliselt võib lugeda \sin x=x ja \tan x=x, kui 0\le x<0,0873.Piirväärtust

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

läheb tarvis ka mitmete tõestuste juures.

Näide 5.

Ringjoone pikkuse ja ringi pindala vaatlemisel piirväärtusena leidsime arvutuslikul teel, et n\cdot\sin\frac{\pi}{n}\to\pi, kui n\to∞. Tõestame nüüd, et $\lim_{n \to \infty} (n \cdot \sin \frac{π}{n}) = π$ .

Teeme asenduse \frac{\pi}{n}=\mathrm{\alpha}. Kui nüüd n\to∞, siis \mathrm{\alpha}\to0. Asendame n=\frac{\pi}{\mathrm{\alpha}}.Nüüd $\lim_{n \to \infty} (n \cdot \sin \frac{π}{n})$ = $\lim_{α \to 0} (\frac{π}{α} \cdot \sin α)$ = $π \cdot \lim_{α \to 0} \frac{\sin α}{α}$ = \pi\cdot1 = \pi.

Ülesanded A

Ülesanne 816. Piirväärtuse arvutamine

\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{5}{x})}^{x}

\lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}

\lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 2}{x})}^{x}

Ülesanne 817. Piirväärtuse arvutamine

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7 x}{x}

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6 x}

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5 x}{10 x}

Ülesanne 818. Küllalt väikese nurga siinus ja tangens

\sin0,0452 ≈

\sin0,0066 ≈

\sin0,001 ≈

\tan0,0707 ≈

\tan0,01001 ≈

\tan0,0004 ≈

Mõningaid erilisi piirväärtuseid

Piirväärtused $lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ ja $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}$

More like this

Ülesanded A

Ülesanne 816. Piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 817. Piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 818. Küllalt väikese nurga siinus ja tangens

More like this

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Mõningaid erilisi piir­väärtuseid

Piir­väärtused limx→∞1+1xx ja limx→0sin xx

More like this

Ülesanded A

Ülesanne 816. Piir­väärtuse arvutamine

Ülesanne 817. Piir­väärtuse arvutamine

Ülesanne 818. Küllalt väikese nurga siinus ja tangens

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).

Check to help us fight spam

Opiq uses cookies

Mõningaid erilisi piirväärtuseid

Piirväärtused $lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ ja $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}$

Ülesanne 816. Piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 817. Piirväärtuse arvutamine