Logaritm­funktsiooni tuletis

Leiame esmalt logaritm­funktsiooni y = ln x tuletise. Alustame funktsiooni muudust:

\Delta y = \ln\left(x+\Delta x\right)-\ln x = \ln\frac{x+\Delta x}{x} = \ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right).

Funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right).

Tähistame suhte \frac{x}{\Delta x} muutujaga u. Siis u=\frac{x}{\Delta x}, millest \Delta x=\frac{x}{u} ja

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{u}{x}\ln\left(1+\frac{1}{u}\right) = \frac{1}{x}\ln\left(1+\frac{1}{u}\right)^u.

Järgnevalt tuleb selgitada, millisele avaldisele läheneb \frac{\Delta y}{\Delta x}, kui Δx → 0. Nagu viimasest võrdusest näha, ei sisalda suhe \frac{\Delta y}{\Delta x} otseselt muutu Δx, kuid sisaldab muutujat u. Et u=\frac{x}{\Delta x}, siis u → ∞, kui Δx → 0. Järelikult: kui u → ∞, siis \frac{\Delta y}{\Delta x} avaldises \left(1+\frac{1}{u}\right)^u\to e ja \ln\left(1+\frac{1}{u}\right)^u\to\ln e, mis on aga 1. Sama tulemuse saame ka siis, kui u → –∞ Δx lähenemisel nullile, vt peatükk 4.4. Seega

(ln x)'=1x.

Näide 1.

Leiame funktsiooni y = x ⋅ ln x tuletise.

\left(x\cdot\ln x\right)^' = x'\ln x+x\left(\ln x\right)^' = 1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x} = \ln x+1.

Leiame nüüd funktsiooni y = loga x, kus a > 0, a ≠ 1, tuletise. Läheme logaritmi aluselt a üle alusele e:

\log_ax = \frac{\log_ex}{\log_ea} = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{1}{\ln a}\cdot\ln x, kus \frac{1}{\ln a} on arv (konstant).

Nüüd \left(\log_ax\right)^' = \left(\frac{1}{\ln a}\cdot\ln x\right)^' = \frac{1}{\ln a}\cdot\left(\ln x\right)^' = \frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln a}. Esitades tulemuse ka logaritmi kaudu alusel a on

(logax)'=1xlogae=1xlna.

Näide 2.

\left(\log_7x\right)^' = \frac{1}{x}\log_7e = \frac{1}{x\ln7}.

Näide 3.

Leiame 1) y=\ln^2x ja 2) y=\log\frac{4}{x} tuletise.

  1. \left(\ln^2x\right)^' = \left(\ln x\cdot\ln x\right)^' = \frac{1}{x}\cdot\ln x+\ln x\cdot\frac{1}{x} = \frac{2}{x}\ln x.
    Tuletise \left(\ln^2x\right)^' oleksime võinud leida ka liit­funktsiooni diferentseerimise reegli järgi.
    ​Kui y = t2 ja t = ln x, siis y' = \left(t^2\right)^'\cdot\left(\ln x\right)^' = 2t\cdot\frac{1}{x} = \frac{2}{x}\ln x.
  2. Vaatleme teist funktsiooni liit­funktsioonina y=\log u, u=\frac{4}{x}.
    Nüüd
    \left(\log\frac{4}{x}\right)^' = \left(\log u\right)^'\cdot\left(\frac{4}{x}\right)^' = \frac{1}{u}\log e\cdot\left(-\frac{4}{x^2}\right) = -\frac{x}{4}\cdot\frac{4}{x^2}\cdot\log e = -\frac{1}{x}\log e = -\frac{1}{x\ln10}.
    ​Kui antud funktsioon kirjutada kujul y = log 4 – log x, siis pole tegemist liit­funktsiooniga ja saame kohe, et y'=-\frac{1}{x\ln10}.

Näide 4.

Nagu teame, on funktsiooni y = ln x graafik kogu määramis­piirkonnas (x > 0) kasvav, s.t kui x → ∞, siis ln x → ∞. Uurime funktsiooni tuletise \left(\ln x\right)^'=\frac{1}{x} abil funktsiooni y = ln x väärtuste kasvamist lähemalt. Annab ju tuletis funktsiooni väärtuste muutumise kiiruse (peatükk 4.6.) valemi ehk funktsiooni väärtuste muutumise kiirust (vy) ise­loomustava funktsiooni. Nii­siis, v_y=\frac{1}{x}, millest ilmneb, et argumendi väärtuse kasvades funktsiooni väärtuste kasvamise kiirus pidevalt väheneb. Seda on võimalik näha nii funktsiooni y = ln x graafikult (joonis 4.15), mis kasvab väga kiiresti lõigul [0; 1], kui ka funktsiooni väärtuste muutumise kiiruse (tuletise) v_y=\frac{1}{x} graafikult, mis langeb väga kiiresti lõigul [0; 1].

Joon. 4.15
More like this
More options

Ülesanded A

Ülesanne 870. Funktsiooni tuletis

y=-3\ln x
y' = 

y=5\ln x
y' = 

y=\ln x^8
y' = 

y=\ln e^3x^2
y' = 

y=\ln8x
y' = 

y=\ln\sqrt{x}
y' = 

y=\ln\frac{1}{x}
y' = 

y=\ln x^{-5}
y' = 

Ülesanne 871. Funktsiooni tuletis

y=\frac{\ln x-1}{\ln x}
y' = 

y=\frac{\ln x}{x}
y' = 

y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}
y' = 

y=x\ln x
y' = 

y=x^2-2\ln x
y' = 

y=x^{-1}+2\ln x
y' = 

Ülesanne 872. Funktsiooni tuletise väärtus antud kohal

Arvutage f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right), kui y=\frac{1}{\ln x}.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) ≈ 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) ≈ 

f '(e) = 

Arvutage f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right), kui y=\frac{\ln x}{x^2}.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) ≈ 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) ≈ 

f '(e) = 

Arvutage f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right), kui y=x^2-2\ln x.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) = 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) ≈ 

f '(e) ≈ 

Ülesanne 873. Puutuja tõus, tõusu­nurk ja võrrand

Vastus. k = , α = , y = 

More like this
More options

Ülesanded B

Ülesanne 874. Funktsiooni tuletis

y=\log_2x
y' = 

y=\log_{0,208}x
y' = 

y=3\log x
y' = 

y=\log_{10}x
y' = 

y=\log_525\cdot\ln x
y' = 

y=\log_4x^{-5}
y' = 

Ülesanne 875. Funktsiooni tuletis

y=\frac{\log x}{\ln x}
y' = 

y=\frac{5}{x}+\log_5\frac{5}{x}
y' = 

y=\log\left(2x-3\right)
y' = 

y=\ln\cos x
y' = 

y=\ln\tan x
y' = 

y=\log\left(4x^2-2x\right)
y' = 

Ülesanne 876. Funktsiooni tuletise väärtus antud kohal

Arvutage f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right) kui y=\ln\cos x.

y' = 

f ′(1) ≈ 

f ′(2) ≈ 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 

f ′(e) ≈ 

Arvutage f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right) kui y=\ln\tan x.

y' = 

f ′(1) ≈ 

f ′(2) ≈ 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) ≈ 

f ′(e) ≈ 

Arvutage f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right) kui y=\log\left(4x^2-2x\right).

y' = 

f ′(1) ≈ 

f ′(2) ≈ 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) ≈ 

f ′(e) ≈ 

Ülesanne 877. Puutuja tõus, tõusu­nurk ja võrrand

Vastus. k = , α = , y = .

More like this
More options