Võtame kõik seni õpitud tuletise rakendused kokku nn funktsiooni uurimise ülesandes.
Funktsiooni y = f (x) uurimine toimub järgmise skeemi järgi.
1. Teeme kindlaks funktsiooni määramispiirkonna X.
Määramispiirkonda ei kuulu näiteks funktsiooni valemis sisalduvate
– nimetajate nullkohad,
– juuritavate avaldiste negatiivsuspiirkonnad paarisarvulise juurija korral,
– logaritmitavate avaldiste negatiivsuspiirkonnad ja nullkohad.
2. Leiame funktsiooni nullkohtade hulga X0.
Selleks lahendame võrrandi f (x) = 0.
3. Leiame funktsiooni positiivsuspiirkonna X+ ja negatiivsuspiirkonna X–.
Selleks lahendame vastavalt võrratused f (x) > 0 ja f (x) < 0.
4. Leiame funktsiooni ekstreemumkohtade hulga Xe ja määrame ekstreemumite liigi.
Selleks lahendame võrrandi f '(x) = 0 ja kontrollime funktsiooni teise tuletise märki oletataval ekstreemumkohal. Negatiivse teise tuletise korral on tegemist maksimumi, positiivse korral miinimumiga. Kui teine tuletis puudub või on 0, siis uurime täiendavalt funktsiooni kasvamist ja kahanemist oletatava ekstreemumkoha ümbruses.
5. Avaldame funktsiooni kasvamisvahemikud X↑ ja kahanemisvahemikud X↓.
Selleks lahendame vastavalt võrratused f '(x) > 0 ja f '(x) < 0. Samas kontrollime, kas tuletis muudab märki kõigi tuletise nullkohtade juures. Kui mõnel juhul see nii ei ole, siis kuulub vastav argumendi väärtus kas kasvamis- või kahanemisvahemikku.
6. Leiame funktsiooni graafiku käänukohtade hulga Xk.
Selleks lahendame võrrandi f ''(x) = 0. Ühtlasi kontrollime, kas saadud argumendi väärtuste juures funktsiooni teine tuletis muudab märki. Kohtadel, kus märgimuutus toimub, on graafiku käänukohad.
7. Avaldame funktsiooni graafiku kumerusvahemikud ja nõgususvahemikud .
Selleks lahendame vastavalt võrratused f ''(x) < 0 ja f ''(x) > 0. Ühtlasi kontrollime, kas teine tuletis muudab märki kõigi tema nullkohtade juures. Kui mõnel juhul see nii ei ole, siis kuulub vastav argumendi väärtus kas kumerus- või siis nõgususvahemikku.
8. Toetudes saadud andmetele, skitseerime funktsiooni graafiku.
Et saada täpsemat informatsiooni funktsiooni käitumise kohta argumendi lähenemisel pluss ja miinus lõpmatusele, on sageli otstarbekas leida veel piirväärtused ja . Vajaduse korral arvutame lisaks veel mõnede punktide koordinaadid.
Näide.
Uurime funktsiooni
- Funktsiooni määramispiirkond X = R.
- Nullkohtade leidmiseks lahendame võrrandi
x^4-18x^2+32=0 .
Kasutame seejuures muutuja vahetustz=x^2 .
Võrrandistz^2-18z+32=0 saame, etz_1=16 ja z_2=2.
Seega nullkohtade hulkX_0=\left\{-4;\ -\sqrt{2};\ \sqrt{2};\ 4\right\} .
- Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse
x^4-18x^2+32>0 .
See võrratus on samaväärne võrratusega\left(x-4\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x+4\right)>0 .
Viimase lahendihulga, s.t. funktsiooni positiivsuspiirkonna leiame jooniselt 5.31.X^+=\left(-∞;\ -4\right)\cup\left(-\sqrt{2};\ \sqrt{2}\right)\cup\left(4;\ ∞\right) .
Samalt jooniselt leiame kohe ka funktsiooni negatiivsuspiirkonna.
X^-=\left(-4;\ -\sqrt{2}\right)\cup\left(\sqrt{2};\ 4\right) .
- Ekstreemumkohtade leidmiseks lahendame võrrandi
y'=0 .y'=4x^3-36x .
Seega tuleb lahendada võrrand4x^3-36x=0 .
4x^3-36x=0 ⇒4x\left(x^2-9\right)=0 ,
millest saame võimalike ekstreemumkohtade hulga:X_e=\left\{-3;\ 0;\ 3\right\} .
Ekstreemumi liigi määramiseks leiame funktsiooni teise tuletise märgi võimalikel ekstreemumkohtadel.
Ety''=12x^2-36 ningy''\left(\pm3\right)>0 jay''\left(0\right)<0 , siis on vaadeldaval funktsioonil kohalx_1=0 maksimum ja kohtadelx_{2,\ 3}=\pm3 miinimumid.
- Kasvamisvahemike leidmiseks lahendame võrratuse
y'>0 . Saame, et4x^3-36x>0 .
See võrratus on samaväärne võrratusega4x\left(x-3\right)\left(x+3\right)>0 .
Viimase lahendihulga, s.t uuritava funktsiooni kasvamisvahemikud, leiame jooniselt 5.32.X_1\uparrow=\left(-3;\ 0\right) ja X_2\uparrow=\left(3;\ ∞\right) .
Samalt jooniselt saame ka funktsiooni kahanemisvahemikud.
X_1\downarrow=\left(-∞;\ -3\right) jaX_2\downarrow=\left(0;\ 3\right) .
- Käänukohtade leidmiseks lahendame võrrandi
y''=0 ja veendume, et teine tuletis muudab leitud kohtadel märki. Võrrandist12x^2-36=0 saame, etx_1=-\sqrt{3} ja x_2=\sqrt{3} .
See, et vaadeldava funktsiooni teine tuletis muudab nendel kohtadel märki, selgub järgmises alapunktis, kus uurime graafiku kumerus- ja nõgususvahemikke. SeegaX_k=\left\{-\sqrt{3};\ \sqrt{3}\right\} .
- Graafiku nõgusus- ja kumerusvahemike leidmiseks lahendame vastavalt võrratused
y''>0 jay''<0 .
Võrratus12x^2-36>0 on samaväärne võrratusega\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)>0 .
Viimase lahendihulga, s.t uuritava funktsiooni nõgususvahemikud, leiame jooniselt 5.33.
=\left(-∞;\ -\sqrt{3}\right) ja =\left(\sqrt{3};\ ∞\right) .
Samalt jooniselt saame kohe ka funktsiooni graafiku kumerusvahemiku.
=\left(-\sqrt{3};\ \sqrt{3}\right) .
Ühtlasi näeme sellelt jooniselt, et vaadeldava funktsiooni teine tuletis muudab kohtadelx_{1,\ 2}=\pm\sqrt{3} märki. Seega on antud funktsioonil nimetatud kohtadel tõepoolest käänupunktid.
 Joon. 5.33 | ||||||
- Graafiku skitseerimiseks leiame veel piirväärtused ja ning ekstreemumpunktide ja käänupunktide ordinaadid.
= = ∞ ja
= = ∞.y_{\max}=f\left(0\right)=32 .
y_{\min1}=f\left(3\right)=-49 ja y_{\min2}=f\left(-3\right)=-49
y_{k1}=f\left(-\sqrt{3}\right)=-13 jay_{k2}=f\left(\sqrt{3}\right)=-13 .
Leitud andmetele tuginevalt saamegi skitseerida joonisel 5.34 esitatud funktsiooniy=x^4-18x^2+32 graafiku.
Ülesanded B
Ülesanne 1013. Funktsiooni uurimine
Ülesanne 1014. Punkti liikumine mööda sirget
Vastus.
Millist informatsiooni punkti liikumise kohta saame sellelt graafikult?
Ülesanne 1015. Biomassi hulga muutumine
Biomassi hulk teatud hetkest t tunni möödudes on arvutatav valemiga
Uurige funktsiooni m(t) ja skitseerige selle graafik.
Vastus.
Millist informatsiooni biomassi hulga muutumise kohta me sellelt graafikult saame?
- Service provided by Star Cloud LLC