Арифметическое среднее, медиана и мода

Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”

После сбора статистических данных происходит их обработка – анализ данных[понятие: Анализ данных (andmeanalüüs) – обработка и исследование статистических данных, в ходе которых вычисляются характеристики, отражающие распределение значений признака и на основании этого делаются выводы. ]. В ходе этого анализа данные сортируют и по ним находят некоторые величины – характеристики[понятие: Характеристики (karakteristikud) – величины, характеризующие распределение значений исследуемого признака как единое целое с той или иной точки зрения.], которые характеризуют распределение значений рассматриваемого признака как единое целое. Основные характеристики можно разбить на две группы: 1) характеристики расположения, или средние; 2) характеристики рассéяния данных.

Характеристики расположения[понятие: Характеристики расположения (paiknemise karakteristikud) – величины, которые дают информацию о расположении значений признака на числовой прямой и характеризуют этот признак с точки зрения некоторого „среднего” значения. Например, среднее арифметическое, мода, медиана.] дают информацию о расположении значений признака на числовой прямой и характеризуют этот признак с точки зрения некоторого «среднего» значения.

Характеристики рассéяния[понятие: Характеристики рассеяния (hajuvuse karakteristikud) – величины, которые показывают, насколько отличаются друг от друга значения признака, насколько они разбросаны относительно среднего значения. Например, размах статистической совокупности, отклонение, дисперсия, стандартное отклонение.] показывают, насколько отличаются друг от друга значения признака, насколько они разбросаны относительно среднего значения.

Рассмотрим характеристики расположения. Этими характеристиками являются арифметическое среднее, медиана и мода.

Арифметическим средним[понятие: Арифметическое среднее, или среднее арифметическое (aritmeetiline keskmine) – частное от деления суммы всех значений признака совокупности на число этих значений (объектов).] называется частное от деления суммы всех значений признака совокупности на число этих значений (объектов).

Арифметическое среднее обозначают символом \overline{x}(его часто называют и средним арифметическим). При обработке данных на компьютере пользуются функциями AVERAGE или MEAN.

Как мы выяснили ранее, всегда полезно представить данные статистического ряда в виде частотной таблицы.

Тогда арифметическое среднее вычисляется по формуле

\bar{x} = \frac{x_{1} f_{1} + x_{2} f_{2} + \dots + x_{n} f_{n}}{N}

Эту формулу называют также формулой взвешенного среднего (арифметического), [понятие: Взвешенное среднее арифметическое (kaalutud aritmeetiline keskmine) – арифметическое среднее, вычисленное на основании частотной таблицы, в которой частоты показывают, каков "удельный вес" данного значения признака в множестве всех значений.]поскольку частоты f_i показывают, каков «удельный вес» значения x_i в множестве всех значений.

Напомним, что N = f₁ + f₂ + f₃ + ... + f_n.

Если данные представлены с помощью таблицы относительных частот

то

1) при обозначении $w_{i} = \frac{f_{i}}{N}$ арифметическое среднее выражается в виде $\bar{x} = x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}$ ,

2) а в случае $w_{i} = \frac{f_{i}}{N} \cdot 100 %$ – в виде $\bar{x} = \frac{x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}}{100}$ .

Действительно, если w_i=\frac{f_i}{N}, то получим:\overline{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n}{N} = x_1\frac{f_1}{N}+x_2\frac{f_2}{N}+...+x_n\frac{f_n}{N} = x_1w_1+x_2w_2+...+x_nw_n.Аналогично рассматривается случай, когда относительные частоты w_i выражены в процентах.

Пример 1. В случае примера 2 из раздела 3.1 арифметическое среднее оценок контрольной работы класса А есть\overline{x} = \frac{2\cdot3+3\cdot7+4\cdot10+5\cdot8}{28} = \frac{107}{28} ≈ 3,82 ≈ 3,8. Арифметическое среднее оценок той же контрольной работы можно найти и по данным примера 3 того же параграфа:\overline{x} = \frac{2\cdot11+3\cdot25+4\cdot36+5\cdot28}{100} = \frac{381}{100} ≈ 3,8.

Если статистические данные разбиты на интервалы, то в каждом интервале x_i < x ≤ x_i+1 все значения признака заменяют его представителем, в качестве которого обычно берут\frac{1}{2}\left(x_i+x_{i+1}\right),рассматривая далее такие представители как отдельные значения признака.

Пример 2. По данным примера 4 раздела 3.1 найдем арифметическое среднее роста учащихся. Вычисления оформим в виде таблицы – ее применение целесообразно при отсутствии калькулятора.

Получим: \overline{x}=\frac{5507,5}{33}\approx167. Таким образом, средний рост учеников составляет 167 см.

Медианой[понятие: Медиана (mediaan) – значение признака, которое делит вариационный ряд на две части, равные по числу членов. Обозначение: 𝑀𝑒 или 𝑚𝑒. Если вариационный ряд имеет четное число членов, то медианой считается арифметическое среднее двух серединных членов.] называется значение признака, которое делит вариационный ряд на две части, равные по числу членов.

Медиана обозначается символом Ме или me, в системе обработки данных – это функция MЕDIAN. Если вариационный ряд х₁, х₂, ... , х_N имеет нечетное число членов (т. е. N нечетно), то медианой является член ряда, расположенный точно в его середине. Если же N четно, то медианой считается арифметическое среднее двух серединных членов. Другими словами,

$M e = x_{i}$ , где $i = \frac{1}{2} (N + 1)$ , если N – нечетное число,

$M e = \frac{1}{2} (x_{i} + x_{i + 1})$ , где $i = \frac{N}{2}$ , если N – четное число.

Пример 3.

В одном классе вариационным рядом размера обуви является для юношей 39, 39, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, а для девушек – 35, 35, 35, 35, 36, 39. Найдем соответствующие медианы.

В первом случае N = 9 и потому Me = x₅ = 40, так как серединный член есть x₅. Тот же индекс получается и из формулы i = 0,5(9 + 1) = 5. Второй ряд имеет четное число членов (N = 6), следовательно,

Me = 0,5(x₃ + x₄) = 0,5(35 + 35) = 35.

Пример 4.

Найдем медиану оценок контрольной работы по данным таблицы, где приведены частоты и относительные частоты оценок.

Так как число оценок N = 28, четно, то Me = 0,5(x₁₄ + x₁₅₎. Складывая последовательно частоты, найдем, что x₁₄ = x₁₅ = 4, откуда Me = 4.

В случае относительных частот (последняя строка) будем складывать последовательно проценты и проследим, при какой оценке преодолевается «барьер» в 50%: 11 + 25 = 36 < 50, но, 11 + 25 + 36 > 50. Поэтому медиана расположена в интервале четверок, т. е. Me = 4.

Если распределение признака задано таблицей, разбитой на классы (интервалы), то действуют таким же образом, как и в примере 4, но результатом является так называемый медианный интервал. В случае примера 2 таким интервалом будет промежуток 165 < x ≤ 170. Если взять середину интервала, то получим в качестве медианы число 167,5. Из соответствующего вариационного ряда (см. пример 4, раздел 3.1) найдем, что Me = 167.

Хотя из всех средних значений чаще используют арифметическое среднее, иногда более подходящей характеристикой признака является медиана. Это относится к случаю, когда в вариационном ряду встречаются члены, которые намного больше или намного меньше остальных членов, а объем совокупности невелик. В этом случае арифметическое среднее сдвигается на числовой оси в сторону, где нет значений признака или где их очень мало. В какой-то мере такую ситуацию отражает пример 3, где средним размером обуви у девушек является \overline{x}=35,8\approx36, в то же время, большинство значений колеблются от 35 до 36. Медианой же здесь является 35, что и представляется более естественным средним значением.

Медиану легко найти, и она удобна для приближенной оценки значения арифметического среднего. Чем симметричнее распределены значения признака, тем лучше медиана характеризует его среднее значение. Например, медиана размера обуви у юношей в примере 3 равна 40, а арифметическое среднее равно 40,1. Медиану часто удается найти с помощью одного или двух измерений. Например, чтобы найти медиану роста учеников, выстроим их в шеренгу по росту и затем измерим рост одного или двух учеников из середины шеренги.

Модой[понятие: Мода (mood) – наиболее часто встречающееся значение признака (т. е. значение, которое имеет наибольшую частоту). Обозначение: 𝑀𝑜 или 𝑚𝑜.] называется наиболее часто встречающееся значение признака (т. е. значение, которое имеет наибольшую частоту).

Мода обозначается символом Мо или mo, в системе обработки данных – это функция MODE. В примере 4 модой оценок контрольной работы является «4», так как это значение встречается чаще всего (f = 10 или w = 36%). Если данные разбиты на интервалы, то модой считают тот интервал, которому соответствует наибольшая частота. В примере 2 таким интервалом является промежуток 167 < x ≤ 170.

Признак может иметь и более одной моды или вообще не иметь моды (все значения признака наблюдаются с одинаковой частотой). В случае двух мод говорят, что признак (или рассматриваемое распределение) является бимодальным[cноска: би- (от латинского bis) – двойной, дважды.].

Если распределение совершенно симметрично и имеется только одна мода, то \overline{x}=Me=Mo, т. е. все три средние совпадают.

Мода используется в экономических исследованиях, в торговле, при исследовании спроса и т. д. В некоторых случаях моду, а также арифметическое среднее можно рассматривать как общепринятую норму. Например, модой мужской прически является нормальная прическа, модой возраста впервые вступающих в брак – нормальный для этого возраст.

Пример 5.

По данным Департамента статистики Эстонии в 1970-х годах средний возраст впервые вступающих в брак мужчин был чаще всего 25 лет, а для женщин этот показатель составлял 23 года. Для мужчин данный показатель к 1991 году понизился до 24,5 лет, а для женщин к 1992 году до возраста 22,3 года. В дальнейшем средний возраст вступления в первый брак начал возрастать как у мужчин, так и у женщин, и к 2016 году достиг у мужчин 32,1 года, а у женщин 29,8 лет.

Упражнения

Ответ: на один выстрел приходитсяв среднем очка.

Ответ: средняя оценка в классе А была , а в классе B – . Следовательно,

\overline{x}=\frac{5507,5}{33}\approx166,9

Рост X	f_i	Представитель интервала x_i	f_ix_i
< x ≤
< x ≤
< x ≤
Всего

\overline{x}\approx

Ответ: медиана размера проданной обуви равна .

Ответ: у мужчин медианным интервалом был лет, а у женщин – лет. Модой у мужчин был интерваллет, а у женщин – лет.

Ответ: меньше всего детей рождалось в ( детей), а больше всего – в (всего детей ). Разность этих величин составляет ребенка. В среднем за один месяц рождалось %, т. е. ребенка.

Ответ: Mo =

Me =

Mo = и

\overline{x} =

Ответ: Mo =

Ответ: средняя масса индийского слона составляет кг.

Ответ: медианным интервалом для массы индийских слонов является , интервал с наибольшей частотой есть , а арифметическое среднее масс равно .

По данным задания 102 найдите для рассмотренной контрольной работы величины \overline{x}, Me и Mo. Сформулируйте собственную оценку результатов этой контрольной работы.

Ответ: \overline{x} = , Me = , Mo = .

Ответ: средняя оценка контрольной работы по двум классам вместе равна .

Арифметическое среднее, медиана и мода

Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”

More like this

Упражнения

More like this

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Арифметическое среднее, медиана и мода

Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”

More like this

Упражнения

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).

Check to help us fight spam

Opiq uses cookies