Нормальное распределение

Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”

До сих пор мы рассматривали только дискретные случайные величины. Случайная величина Х называется дискретной, если она имеет конечное число значений, принадлежащих некоторому промежутку, но расположенных отдельно друг от друга.

Теперь мы рассмотрим непрерывные случайные величины Х, которые принимают все возможные значения из некоторого промежутка числовой оси. Следовательно, множество значений такой величины бесконечно. Остановимся на одном из важных случаев распределения непрерывной величины, с помощью которого описываются многие природные явления. Этим распределением является так называемое нормальное распределение[понятие: Нормальное распределение (normaaljaotus) – распределение непрерывной случайной величины 𝑋. Большая часть случайных величин, описывающих природные общественные явления, подчиняется нормальному распределению. Графиком является кривая Гаусса.].

Функция распределения вероятностей случайной величины в случае нормального распределения задается формулой $$ f\left(x\right)=\frac{1}{\text{σ}\sqrt{2\mathrm{\pi }}} e^{\frac{{\left(x - EX\right)}^2}{2{\text{σ}}^2}}$$ , которая содержит характеристики EX, σ² и σ, а также число e ≈ 2,72, с которым мы подробнее познакомимся позже. График этой функции изображен на рисунке 1.26. График нормального распределения называется кривой Гаусса[понятие: Кривая Гаусса (Gaussi kõver) – график нормального распределения.] (по имени немецкого математика Карла Фридриха Гаусса), а также колоколообразной кривой.

Перечислим свойства нормального распределения.

1. Нормальное распределение симметрично относительно своего среднего значения.
2. В случае нормального распределения среднее значение, мода и медиана совпадают.
3. При увеличении дисперсии график становится ниже, но, в то же время, шире (увеличивается рассеяние) и более пологим.
4. Площадь фигуры, расположенной между кривой Гаусса и осью абсцисс, равна 1, так как сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины Х должна быть равна 1.
5. Из всех значений случайной величины примерно (см. рис. 1.26):
   ​68% расположено в отрезке [EX – σ; EX + σ],
   ​95% расположено в отрезке [EX – 2σ; EX + 2σ],
   99,7% расположено в отрезке [EX – 3σ; EX + 3σ].

Самое последнее из указанных свойств является одним из признаков, указывающих на нормальное распределение (и называется также правилом трех сигм).

При исследовании конкретных случайных величин, полученных на основании эмпирических данных, например, вес новорожденных детей и т. п., обычно получается несколько искаженное, т. е. лишь близкое к нормальному, распределение. Так, на рисунке 1.25, где изображено распределение веса новорожденных детей, график не симметричен. Причиной является то, что мальчиков рождается больше и их вес также больше.