Понятие последовательности

Курс „Последовательности. Производная функции”

Пример 1.

Ученик начал для развлечения чертить на экране компьютера квадраты с общей вершиной и со сторонами длиной в 1, 2, 3 и т. д. единицы (рис. 3.1). Для первых шести квадратов их площади в соответствии с порядковым номером можно представить следующей таблицей:

Построение таких квадратов, а также вычисление их площадей, можно продолжать неограниченно. Например, площадь 12-го квадрата равна 144, площадь 20-го квадрата равна 400 и площадь n-го квадрата равна n².

Рис. 3.1

В примере 1 у нас получилось множество чисел, снабженных порядковыми номерами (индексами), или числовая последовательность. Элементами этой числовой последовательности являются площади квадратов: первый элемент 1² = 1, второй элемент 2² = 4, третий элемент 3² = 9 и, вообще, n-й элемент равен n².

Если каждому натуральному числу n, начиная с 1, ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность[понятие: Числовая последовательность (arvjada) – бесконечный ряд чисел, соответствующих порядковым номерам 1, 2, 3, ... Получается в случае, когда каждому натуральному числу 𝑛, начиная с 1, ставится в соответствие по определенному закону некоторое число 𝑎ₙ. Обозначается как 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎ₙ, ... или короче (𝑎ₙ).] а¹, а², а³, … , aⁿ …

Числовую последовательность обычно называют просто последовательностью[понятие: Последовательность (jada) – см. числовая последовательность]. Числа a₁, a₂, a₃, …, a_n, … называют элементами[понятие: Элементы последовательности – см. члены последовательности.] или членами последовательности[понятие: Члены последовательности (jada liikmed) – числа, из которых составлена последовательность.]. За элементом a_n следуют элементы a_n+1, a_n₊₂, a_n₊₃ и т. д. Элементу a_n предшествуют элементы a_n_–1, a_n_–2, a_n_–3, ... , а₁. Индекс каждого члена последовательности показывает, под каким номером это число входит в нее.

Последовательность a₁, a₂, a₃, …, a_n, … кратко обозначают (a_n) или {a_n}. Из определения последовательности видно, что множество ее членов бесконечно и что каждый член последовательности имеет определенный порядковый номер.

Произвольный n-й член последовательности, т. е. a_n, называют общим членом последовательности[понятие: Общий член последовательности (jada üldliige) – произвольный 𝑛-й член последовательности, т. е. 𝑎ₙ.]. Мы будем рассматривать в основном такие последовательности, у которых общий член задан некоторой формулой общего члена, показывающей, как выражается произвольный член последовательности через порядковый номер n. В примере 1 общий член последовательности задается формулой a_n = n².

Однако применение формулы не всегда возможно. Например, не найдено никакой формулы для общего члена последовательности всех простых чисел 2; 3; 5; 7; 11; 13; … .

Члены последовательности можно изобразить в виде точек числовой прямой (члены последовательности a_n = 2n + 1 на рисунке 3.2,а) или на координатной плоскости (члены последовательности a_n=\frac{2n-1}{n} на рисунке 3.2,б).

Рис. 3.2,a

Рис. 3.2,б

В последнем случае на оси Ох отмечают порядковые номера членов, а на оси Оу – значения членов последовательности. На рисунке 3.2,б) ее члены приближаются к числу 2.

Если каждый следующий член последовательности больше предыдущего, то последовательность называется возрастающей[понятие: Возрастающая последовательность (kasvav jada) – последовательность (𝑎ₙ), в которой для любых двух последовательных членов выполнено неравенство 𝑎ₖ₊₁ > 𝑎ₖ.]. Последовательности a_n=2n+1 и a_n=\frac{2n-1}{n} являются возрастающими. Если же каждый следующий член последовательности меньше предыдущего, то последовательность называется убывающей[понятие: Убывающая последовательность (kahanev jada) – последовательность (𝑎ₙ), в которой для любых двух последовательных членов выполнено неравенство 𝑎ₖ₊₁ < 𝑎ₖ.]. Убывающей является, например, последовательность a_n=-4n+1.

Иногда последовательность задают не с помощью формулы ее общего члена, а с помощью правила, по которому каждый последующий член получается из предыдущих членов. Например, в последовательности a₁ = 1, a_n₊₁ = 3a_n + 1 можно следующие члены вычислить следующим образом:

a₂ = 3a₁ + 1 = 3 · 1 + 1 = 4, a₃ = 3a₂ + 1 = 3 · 4 + 1 = 13 и т. д.

Пример 2.

Все делящиеся на 3 целые положительные числа можно расположить в порядке их возрастания: 3; 6; 9; …; 3n; … .

В этой последовательности a_1=3, a_2=6, a_3=9 и т. д.; общий член a_n=3n.

Пример 3.

Общий член последовательности (a_n) задан формулой a_n=\frac{n}{n+1}. Найдем 5 первых членов этой последовательности.

Для этого подставим в формулу вместо n числа 1, 2, …, 5 и получим:

a_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}, a_2=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}, a_3=\frac{3}{4}, a_4=\frac{4}{5}, a_5=\frac{5}{6}.