Курс „Последовательности. Производная функции”
1; 3; 5; 7; 9; ; ; …
12; 8; 4; 0; –4; ; ; …
–2; –5; –8; –11; –14; ; ; …
- Найдите закономерность в каждой из этих последовательностей и продолжите запись ее членов.
- Что общее можно подметить, сравнивая соседние члены?
- Найдите формулу общего члена каждой последовательности. Сравните их между собой.
1; 3; 5; 7; 9; … | |
12; 8; 4; 0; –4; … | |
–2; –5; –8; –11; –14; … | |
Последовательность, в которой разность между последующим и предыдущим членами остается постоянной, называется арифметической прогрессией[cноска: Латинским словом прогрессия, которое означает движение вперед, прежде называли всякую последовательность. В настоящее время этот термин сохранился только для наименования арифметической и геометрической прогрессий.] (или арифметической последовательностью).
Постоянная величина an – an–1 называется разностью[понятие: Разность арифметической прогрессии (aritmeetilise jada vahe) – число 𝑑, равное разности между любым членом прогрессии с номеров 𝑛 > 1 и предшествующим членом.] прогрессии и обозначается буквой d. Таким образом, в арифметической прогрессии[понятие: Арифметическая прогрессия (aritmeetiline jada) – последовательность, в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной.] d = an – an–1 и an = an–1 + d для любого n > 1.
Пример 1.
Последовательность 7; 12; 17; 22; …; 5n + 2; … является арифметической прогрессией, так как 12 – 7 = 17 – 12 = 22 – 17 = … = 5. Разность этой прогрессии d = 5.
Последовательность 2; 6; 18; 54; … не является арифметической прогрессией, так как 6 – 2 ≠ 18 – 6 ≠ 54 – 18.
Если a1 = 1 ja d = 1, то получим арифметическую прогрессию 1; 2; 3; 4; …; n; … .
Если a1 = 3 ja d = 0, то получим арифметическую прогрессию 3; 3; 3; … . Такие последовательности называются постоянными последовательностями[понятие: Постоянная последовательность (konstantne jada) – последовательность, все члены которой равны между собой.].
Если разность арифметической прогрессии d > 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей; если же d < 0, то получается убывающая последовательность.
Если в арифметической прогрессии известны ее первый член a1 и разность d, то можно найти любой член прогрессии:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d;
или в общем виде: an = a1 + (n – 1)d. Это и есть формула общего члена арифметической прогрессии.
Общий член арифметической прогрессии[понятие: Общий член арифметической прогрессии (aritmeetilise jada üldliige) – член 𝑎ₙ, соответствующий произвольному порядковому номеру 𝑛, выражается через первый член 𝑎₁ и разность 𝑑 прогрессии в виде 𝑎ₙ = 𝑎₁ + (𝑛 – 1)𝑑.] выражается в виде an = a1 + (n – 1)d.
Пример 2.
В арифметической прогрессии a8 = 172 и a1 = –3. Найдем разность d этой прогрессии.
Так как a8 = a1 + 7d, то 7d = a8 – a1 = 172 – (–3) = 175, откуда d = 175 : 7 = 25.
Пример 3.
Найдем, каким по порядку членом является число 100 в арифметической прогрессии, у которой a1 = 2 и d = 2.
Из формулы an = a1 + (n – 1)d получим, что
Упражнения
Данные числа | Является ли арифметической прогрессией? | Разность прогрессии |
5; –1; –7; –13; … |
| d = |
| d = | |
12; 4; |
| d = |
2; 8; 14; 20; … |
| d = |
Последовательность № | a1 | d | n | an |
1. | 15 | –3 | 10 | |
2. | –21 | 4 | 25 | |
3. | –9 | 11 | 21 | |
4. | –8 | 15 | –29 | |
5. | 23 | –5 | –22 | |
6. | –16 | 3 | 20 |
Ответ: за 10-ю секунду Колобок укатится на м.
Ответ: велосипедист был в пути ч.
Ответ: эти числа есть , , , , , .
Ответ: эти числа есть
- Выясните, как связан каждый член прогрессии с двумя соседними с ним членами.
- Докажите найденную закономерность.
- Как Вы думаете, от чего происходит наименование арифметической прогрессии?
Ответ: a6 + a8 =
Ответ: неравенство выполнено для первых членов прогрессии.
1) y = –2x + 1 | 2) y = 1 – x2 | 3) | ||
4) y = 3(1 + x) | 5) | 6) y = 4x + 1 |
- Образуйте с их помощью последовательности, придавая переменной x значения 1, 2, 3, …, n. Найдите 4 первых члена и формулу общего члена каждой последовательности. Отметьте на коoрдинатной плоскости точки, соответствующие членам a1, a2 , a3 и a4.
- Какие из полученных последовательностей являются арифметическими прогрессиями? Как называются функции, определяющие арифметические прогрессии?
Ответ: арифметическими прогрессиями являются последовательности
- 1)
- 2)
- 3)
- 4)
- 5)
- 6)
Они определяются .
- Как связаны разности полученных арифметических прогрессий с коэффициентами в формулах исходных функций?
- Будут ли сделанные в пунктах 2 и 3 заключения верными для всех функций такого вида? Определите понятие арифметической прогрессии с помощью последовательности значений функции соответствующего вида.
