Экстремумы функции

Курс „Последовательности. Производная функции”

Обозначим длину участка через х, х > 0, а его площадь через у. Так как ширина участка должна быть в этом случае 100 – x (рис. 3.28), то площадь у выражается как функция от переменной х так: y = x(100 – x).

Рис. 3.28

Задача свелась к нахождению таких значений аргумента, при которых функция имеет максимальное значение. Как найти эти значения?

Экстремум – это общее наименование для максимума и минимума.

Экстремум функции – это ее значение (в точке максимума или в точке минимума).

Точка экстремума – это значение аргумента, при котором функция имеет максимум или минимум.

Точка экстремума графика функции – это точка (х0; f (x0)), координатами которой являются точка экстремума х0 и соответствующее значение (экстремум) функции.

На рисунке 3.29 (а, б) видно, что если дифференцируемая на интервале (a; b) функция y = f(x) имеет максимум или минимум в точке x0 ∈ (a; b), то в этой точке проведенная к графику функции касательная параллельна оси абсцисс, другими словами, f′\left(x_0\right)=0.

Следовательно,

дифференцируемая на некотором интервале функция y = f (x) может иметь экстремум только в такой точке, в которой ее производная равна нулю.

Рис. 3.29

В то же время на рисунке 3.29, в видно, что не все такие точки, где производная равна нулю, являются точками экстремума.

Кроме того (см. рисунок 3.29, г, д),

непрерывная функция может иметь экстремум и в таких точках, где она не дифференцируема, т. е. не имеет производной.

Мы снова замечаем (рис. 2.29, е), что не все такие точки являются точками экстремума.

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, являются подозрительными на экстремум или критическими точками[понятие: Критические точки функции (funktsiooni kriitilised kohad) – точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Функция может имет экстремум только в критических точках, но в критической точке может и не быть экстремума.]. Такие точки нужно исследовать дополнительно. На рисунке 3.29 (а, б, г, д) функция имеет экстремум в таких точках, в которых возрастание функции сменяется ее убыванием или наоборот, убывание – возрастанием, другими словами, в таких точках производная функции изменяет свой знак.

Сформулируем правило нахождения точек экстремума.

Найдем все такие точки функции y = f (x), в которых функция непрерывна, а ее производная равна нулю или не существует.

Если в найденной точке производная меняет свой знак, то эта точка является точкой экстремума.

Если в точке экстремума возрастание функции сменяется ее убыванием, то данная точка является точкой максимума, в противном случае это – точка минимума. Если же при переходе через найденную точку знак производной не изменяется, то в этой точке функция не имеет экстремума.

Пример 1.

Найдем экстремумы функции y=x^3+6x^2-15x+1.

Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой, значит она может иметь экстремумы только в тех точках, в которых ее производная равна нулю; 

y ′ =( x 3 +6 x 2 −15x+1 ) ′ =3( x 2 +4x−5) MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbnLMBP9 MBGaLCVbqedmvETj2BSbqee0evGueE0jxyaibaieYdf9irVeeu0dXd bba9v8qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0= yqaqFfpae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaa beqaaeaabaWaaaGcbaGabmyEayaafaGaeyypa0JaaiikaiaadIhada ahaaWcbeqaaiaaiodaaaGccqGHRaWkcaaI2aGaamiEamaaCaaaleqa baGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaigdacaaI1aGaamiEaiabgUcaRiaaig daceGGPaGbauaacqGH9aqpcaaIZaGaaiikaiaadIhadaahaaWcbeqa aiaaikdaaaGccqGHRaWkcaaI0aGaamiEaiabgkHiTiaaiwdacaGGPa aaaa@4761@

и уравнение y'=0\ принимает вид x^2+4x-5=0, откуда x_1=-5 и x_2=1.

Рис. 3.30

Изобразим схематически изменение знака производной (рис. 3.30). В точке x_1=-5 возрастание функции сменяется ее убыванием, а в точке x_2=1 убывание функции сменяется ее возрастанием. Значит, в точке x_1=-5 функция имеет максимум, а в точке x_2=1 – минимум.

Найдем экстремумы функции, т. е. ее значения y\left(-5\right) и y\left(1\right):

y\left(-5\right) = \left(-5\right)^3+6\cdot\left(-5\right)^2-15\cdot\left(-5\right)+1 = 101,
y\left(1\right) = 1^3+6\cdot1^2-15\cdot1+1 = -7​.

Ответ: в точке x_1=-5 функция y=x^3+6x^2-15x+1 имеет максимум y_1=y\left(-5\right)=101; в точке x_2=1 функция имеет минимум y_2=y\left(1\right)=-7.

Пример 2.

Закончим решение задачи 598.

Требуется найти наибольшее значение функции y=x\left(100-x\right). Найдем точку, в которой производная функции равна нулю.

y'=\left(100x-x^2\right)^'=100-2x; 100-2x=0 ⇒ x=50.

Поскольку в точке х = 50 производная меняет знак с «+» на «–», то своего наибольшего значения функция достигает при х = 50, эта точка является точкой максимума.

Ответ: участок будет в виде квадрата со стороной 50 м.

More like this
More options

Упражнения

y=2x^2-5x-12

Ответ:  точкаесть .

y=-3x^2+x-5

Ответ: точка есть .

y=x^3-5x^2+3x-5

Ответ: точка минимума графика есть  , а точка максимума – .

y=2x^3-15x^2+36x-24

Ответ: точка минимума графика есть , а точка максимума –  .

y=x^4-2x^2-5

Ответ: точки минимума графика есть   и , а точка максимума –  .

y=x^5-5x^4+5x^3+1

Ответ: точка минимума графика есть , а точка максимума – .

Ответ: если ехать со скоростью  \frac{\mathrm{км}}{\mathrm{ч}}.

Ответ: эпидемия достигнет апогея на  сутки. В этот день заболеет % жителей.

Спрос на некий товар описывается формулой N\left(t\right)=100+5t^2-\frac{t^3}{3}, где N(t) – число покупателей, которые нуждаются в этом товаре на t-й день.

На который день спрос на этот товар достигнет максимума и каков будет этот спрос?

Ответ: спрос на этот товар достигнет максимума на  день и этот спрос составит .

Точка движется прямолинейно по закону s\left(t\right)=12t^2-\frac{2}{3}t^3 (единицами измерения являются метр и секунда). Найдите в промежутке времени [4; 10] такой момент, когда скорость движения будет наибольшей.

  • Сравните эту скорость со скоростью в момент t = 4 и в момент t = 10.
    Ответ: скорость движения будет наибольшей, если t = .
  • Какая из этих трех величин является наибольшей?

y = ln x, x > 0

y=x^2+\ln x

Ответ: точка минимума  и точка максимума .

y=x^3+6\ln x

Ответ: точка минимума  и точка максимума .

y=x^2e^x

Ответ: точка минимума есть , а точка максимума – .

y=x^2\ln x

Ответ: точка минимума есть , а точка максимума .

Ответ: a = 

Ответ: a ∈ 

More like this
More options