Возрастание и убывание функции

Курс „Последовательности. Производная функции”

Мы уже знаем, что для исследования поведения функции (возрастание, убывание, экстремумы и т. д.) на некотором промежутке не обязательно иметь перед глазами (например, построенный на компьютере) график функции. Такое исследование может быть выполнено и тогда, когда функция задана формулой, а мы умеем применять производную функции.

Пусть функция y=f\left(x\right) дифференцируема на некотором интервале \left(a;\ b\right), т. е. в каждой точке x\in\left(a;\ b\right) существует производная f′\left(x\right). Значение производной может быть положительным, отрицательным или же нулем.

Если f'\left(x\right)>0, то касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол;
если f′\left(x\right)<0, то тупой угол;
если f′\left(x\right)=0, то касательная параллельна оси абсцисс.

Рис. 3.26

На рисунке 3.26,а видно, что если касательная в любой точке x\in\left(a;\ b\right) составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол, т. е. f'\left(x\right)>0, то функция у = f(x) возрастает на интервале \left(a;\ b\right). Если же касательная в любой точке x\in\left(a;\ b\right) составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол, т. е. f '(x) < 0 то функция убывает на интервале (a; b) (рис. 3.26,б).

Если f '(x) > 0 на интервале (a; b), то функция возрастает на этом интервале;

если f '(x) < 0 на интервале (a; b), то функция убывает на этом интервале.

Выясним, является ли подобное условие необходимым для того, чтобы функция[cноска: Если не оговорено противное, то здесь и далее мы будем предполагать, что функция непрерывна – ее график на рассматриваемом интервале является непрерывной линией, т. е. не имеет разрывов. Дифференцируемость функции во всех точках рассматриваемого интервала в общем случае не предполагается. ] была на данном интервале возрастающей (соответственно убывающей) на этом интервале. Другими словами, верно ли, что если функция является возрастающей (убывающей) на интервале (а; b), то ее производная положительна (отрицательна) на данном интервале. На рисунке 3.26 видно, что функция может быть возрастающей (убывающей) на интервале (а; b) и в том случае, когда в некоторой отдельной точке х этого интервала f′\left(x\right)=0 (рис. 3.26, в) или же производная не существует (рис. 3.26, г).

Чтобы найти интервалы возрастания и интервалы убывания функции, нужно решить неравенство f '(x) > 0 или f '(x) < 0. Интервалы, из которых состоят множества решений этих неравенств и дают, как правило, интервалы возрастания или убывания функции.

Если же в некоторой точке функция не имеет производной или эта производная равна нулю, то нужно выяснить, сменяется ли в этой точке возрастание функции ее убыванием (или наоборот, убывание – возрастанием). Если этого не происходит, то данное значение аргумента включается в соответствующий интервал возрастания или убывания.

Замечание. Интервалы возрастания и интервалы убывания функции имеют и общее наименование – интервалы монотонности[понятие: Интервалы монотонности функции (funktsiooni monotoonsuse vahemikud) – общее наименование интервалов возрастания и интервалов убывания функции.] функции.

Пример 1.

Найдем интервалы возрастания и интервалы убывания функции y=2x^3+1.

Для этого решим неравенства f'\left(x\right)>0 и f'\left(x\right)<0.

Найдем производную: y'=6x^2.

Из неравенства 6x^2>0 получим, что функция возрастает на интервалах \left(-∞;\ 0\right) и \left(0;\ ∞\right).

Так как в точке x=0 производная равна нулю, то проверим, сменяется ли в этой точке возрастание функции ее убыванием. Так как этого не происходит, то функция возрастает на интервале \left(-∞;\ ∞\right), т. е. на всей области определения.

Пример 2.

Выясним, точка x_0=1 принадлежит интервалу возрастания или же интервалу убывания функции y=x^3-12x.

Для этого определим знак производной в точке x_0=1. Поскольку y'=3x^2-12 и y'\left(1\right)=3\cdot1^2-12=-9<0, то значение аргумента x_0=1 принадлежит интервалу убывания данной функции.

Ответ: значение аргумента x_0=1 принадлежит интервалу убывания функции y=x^3-12x.

Пример 3.

Найдем интервалы монотонности функции y=2x^3-54x.

Данная функция определена на всей числовой прямой. Решим неравенства f′\left(x\right)>0 и f′\left(x\right)<0.

Найдем производную: y'=6x^2-54.

Решив неравенство 6x^2-54>0 , получим, что функция возрастает на интервалах \left(-∞;\ -3\right) и \left(3;\ ∞\right) (рис. 3.27). Значит X_1\uparrow=\left(-∞;\ -3\right), X_2\uparrow=\left(∞;\ 3\right).

Рис. 3.27

Решив неравенство 6x^2-54<0, получим, что интервалом убывания функции является (–3; 3), т. е. X\downarrow=\left(-3;\ 3\right).

Ответ: функция y=2x^3-54x возрастает на интервалах \left(-∞;\ -3\right) и \left(3;\ ∞\right) и убывает на интервале \left(-3;\ 3\right).

Seotud sisu

Упражнения

y=x^2-4x+7, x_0\in\left\{1;\ 2;\ 3\right\}

Ответ: интервалу возрастания принадлежит(ат) значение(я) аргумента , а интервалу убывания – значение(я) .

y=\left(3x-2\right)\left(x+3\right), x_0\in\left\{-1;\ -2;\ -3\right\}