Harjutus­ülesanded. Trigono­meetria

More like this
More options

Ülesanne 1

A=\frac{\cos2x-1}{\sin2x\cdot\left(1+\tan^2x\right)}.

Vastus

Lahendus
  1. Kuna cos 2x = cos2x – sin2x ja cos2x + sin2x = 1, siis lugeja saab kuju cos2x – sin2x  – (cos2x + sin2x) = 
    = cos 2 x - sin 2 x - cos 2 x - ​ - sin 2 x = -2 sin 2 x
  1. Nimetaja teisendamisel kasutame valemeid
    ​1+\tan^2\left(x\right)=\frac{1}{\cos^2\left(x\right)}
    ​ja
    ​sin 2x = 2sin x cos x.
    ​\sin\left(2x\right)\left(1+\tan^2\left(x\right)\right)=
    =2\sin x\cos x\cdot\frac{1}{\cos^2x}=
    ​​    =\frac{2\sin x}{\cos x}
  1. A=\frac{-2\sin^2x}{\frac{2\sin x}{\cos x}}=\frac{-2\sin^2x\cos x}{2\sin x}=
    =2\sin x=-\sin x\cos x=
    ​​=-\frac{\sin2x}{2}=-0,5\sin2x
More like this
More options

Ülesanne 2

A = 0,25 vahemikus \left(-\frac{\pi}{2};\ 0\right).

Vihje
1. Teisenda võrrand põhivõrrandiks
sin 2x = –0,5
2. Skitseeri lahendite leidmiseks graafik või kasuta üldlahendi valemit.
  • Põhivõrrand 
Vastus

Võrrandi lahendid antud piirkonnas on
 ja  (x1 < x2)

Lahendus
  1. Võrrand on kujul
    ​–sin x cos x = 0,25 või
    ​–0,5 sin 2x = 0,25.
  2. Teisendame selle põhivõrrandiks. Esimese võrrandi korrutame läbi –2-ga ja saame
    ​2sin x cos x = –0,5
    sin 2x = ​–0,5
    V​õi korrutame teise võrrandi –2-ga ja saame samuti
    ​sin 2x = ​–0,5
  3. Skitseeri funktsiooni y = sin 2x graafik ja lahenda võrrand selle abil või kasuta üldlahendi valemit.
  4. Esimene lahend:
    ​2x=\arcsin\left(-0,5\right)=-30\degree=\frac{\pi}{2}|\ :2
    ​x_1=-15\degree=-\frac{\pi}{12}
  5. Teine lahend
    ​x_2=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}=-\frac{5\pi}{12}=-75\degree.
More like this
More options

Ülesanne 3

2cos2 870° – 3sin (–450°) – 5tan(1215°)

Vahetehted

  1. 2cos2 870° = 2cos2  ° =
    = 
  2. 3sin (–450°) = 3sin ° =
    = 
  3. 5tan 1215° = 5tan ° =
    =   
Vastus

Avaldise väärtus on 

Lahendus

2cos2(870°) – 3sin(–450°) – –5tan(1215°)

  1. Teisenda kõik nurgad täispöördest väiksemateks positiivseteks nurkadeks.
    ​2cos2(150°) – 3sin(270°) – 5tan(135°) 
  2. 2\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-3\cdot\left(-1\right)-5\cdot\left(-1\right)=
    =\frac{2\cdot3}{4}+3+5=9,5
More like this
More options

Ülesanne 4

  1. Joonesta funktsioonide f (x) = cos 2x ja g (x) = cos x graafikud ning lahenda võrratus cos 2x ≤ cos x piirkonnas \left[-\frac{\pi}{2};\ \pi\right].
    • Graafikute lõikepunktid antud piirkonnas on 
Vihje
Vaata jooniselt, kus on graafikute lõikepunktid ning uuri, millistel lõikudel on f(x) graafik madalamal kui g(x) graafik.
  1. Leia funktsioonide f (x) ja g (x) ühine positiivsus­piirkond piirkonnas \left[-\frac{\pi}{2};\ \pi\right].
Vihje
Uuri joonist ja vaata, millises vahemikus on mõlemad graafikud ülevalpool abstsisstelge.
Vastus
Joonis
Lahendus
  1. Vaata jooniselt, kus on graafikute lõikepunktid ning uuri, millistel lõikudel on f(x) graafik madalamal kui g (x) graafik.
    Graafikute lõikepunktid antud piirkonnas on \left\{0;\ \frac{2\pi}{3}\right\}. 
    ​Kuna tegemist on mitterange võrratusega, on vastuses ka lõikepunktide abstsissid!
  2. Võrratuse lahendid
    ​x\in\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{2\mathrm{\pi}}{3}\right]
  3. Uuri joonist ja vaata, millises vahemikus on mõlemad graafikud ülalpool abstsisstelge.
    ​X^+=\left(-\frac{\mathrm{\pi}}{4};\ \frac{\mathrm{\pi}}{4}\right)
More like this
More options

Riigieksami ülesandeid

  1. Lihtsustage avaldis \frac{\sin\left(\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}\right)-\cos^3\mathrm{\alpha}}{\sin2\mathrm{\alpha}}, kus α on mingi teravnurk ja β = 90°.
    • sin (α + β) = 
    • sin 2α =  
  2. Konstrueerige koordinaatteljestikus funktsiooni f\left(x\right)=\frac{\sin x}{2} graafik lõigul [0; 3π] ja lahendage samal lõigul võrrand f\left(x\right)=\frac{1}{4}.
Vastused
  1. Lihtsustatud avaldis 
  1. Lihtsustage avaldis \frac{\cos2\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}}-\frac{\sin2\mathrm{\alpha}}{\sin\mathrm{\alpha}}.
  2. On antud funktsioon f\left(x\right)=-\frac{1}{\cos x}.
    Leidke lõigul [–π; π] need x-i väärtused, mille korral funktsioon ei ole määratud.
Vastused
  1. Lihtsustatud avaldis 
  2. Funktsioon ei ole määratud, kui 
  1. Lihtsustage avaldis \frac{\sin^2\mathrm{\alpha}}{\sin2\mathrm{\alpha}}\cdot\sin\left(90\degree-\mathrm{\alpha}\right)\cdot\frac{2}{\cos\left(360\degree-\mathrm{\alpha}\right)}.
  2. Leidke funktsiooni f(x) = 2 sin2 x – cos x – 2 nullkohad lõigul [0; 2π].
Vastused
  1. Avaldis lihtsustub kujule 

  1. Lihtsustage avaldis
     \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos^2\left(\frac{2\pi}{3}\right)--\cos\left(\pi-x\right)+\sin^2\left(\frac{2\pi}{3}\right).
  2. Lahendage võrrand 2 cos x = 1 ja joonise abil võrratus 2 cos x < 1, kui x ∈ [0; 2π]
Vastused
  1. Lihtsustatud avaldis 
  1. Lihtsustage avaldis \frac{\sin2x}{\sin\left(\pi-x\right)}.
  2. Joonestage funktsiooni f (x) = 2 cos x graafik vahemikus (–π; π) ning leidke parameetri a kõik täis­arvulised väärtused, mille korral on võrrandil f (x) = a selles vahemikus täpselt kaks lahendit.
Vastused
  1. Lihtsustatud avaldis 
Joonis

On antud funktsioon f (x) = 2 sin x. 

  1. Joonestage funktsiooni f (x) graafik lõigul [0; 2π].
  2. Lahendage võrrand 2\sin\left(\pi-x\right)=\sin\frac{\pi}{2}, kui x ∈ [0; 2π].
    • Teisendatud võrrand
Vastus

Võrrandi lahendid 

Joonis

Mis teravnurga α korral on avaldise sin (30° + α) + cos 150° sin α väärtus 0,25.

  • Teisendatud võrrand
Vastus

α = °

On antud funktsioon f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos x.

  1. Lahendage lõigul [0; 2π] võrrand f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{8}}.
  2. Võrrandi f (x) – a = 0 lahendite vahe lõigul [0; 2π] on \frac{\pi}{3}. Leidke arvutuste teel parameetri a väärtus.
Vastused
More like this
More options