Siinusteoreem. Koosinusteoreem
Kui sa pole kindel, et kolmnurk on täisnurkne, siis kasuta siinus- ja koosinusteoreemi, sest need kehtivad kõikides kolmnurkades. Pythagorase teoreem ja teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid kehtivad ainult täisnurkses kolmnurgas.
Siinusteoreem
Koosinusteoreem
a2 = b2 + c2 – 2bc ⋅ cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac ⋅ cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab ⋅ cos γ
Kolmnurga pindala
S = pr
- a, b, c kolmnurhga küljed
- h küljele a tõmmatud kõrgus
- r siseringjoone raadius
- R ümberringjoone raadius
- p pool ümbermõõtu
- Nurgad α, β, γ on vastavalt külgede a, b, c vastasnurgad.
Mediaan ja kesklõik
Mediaan ja selle omadused
- Mediaaniks ehk küljepoolitajaks nimetatakse kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku.
- Kolmnurga kõik kolm mediaani lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse kolmnurga raskuskeskmeks.
- Mediaanide lõikepunkt jaotab iga mediaani kaheks osaks, mis suhtuvad nagu 2 : 1, st tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.
- Iga mediaan jaotab kolmnurga kaheks võrdpindseks kolmnurgaks.
Kesklõik
- Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse kolmnurga kahe külje keskpunkte ühendavat lõiku.
- Kolmnurga kesklõik on paralleelne ühe küljega ja on võrdne poolega selle külje pikkusest.
- Kolmnurga kesklõigud jaotavad kolmnurga neljaks võrdseks kolmnurgaks.
Nurgapoolitaja omadus
- Kolmnurga sisenurga poolitajaks nimetatakse sirget, mis jaotab alates tipust kolmnurga sisenurga kaheks võrdseks osaks.
2φ = α
- Kolmnurga nurgapoolitaja jaotab vastaskülje osadeks c ja d, mis suhtuvad nagu lähisküljed a ja b:
Mediaanid
Kesklõigud
Nurgapoolitajad
Rööpkülik
S = a ⋅ h
S = a ⋅ b ⋅ sin φ
P = 2 (a + b)
d12 + d22 = 2 (a2 + b2)
- a, b küljed
- h kõrgus
- sin φ rööpküliku nurga siinus
- d1, d2 diagonaalid
Romb
Sromb = a ⋅ h
Promb = 4a
- a külg
- h kõrgus
- d1, d2 diagonaalid
- sin φ rombi nurga siinus
Romb on rööpkülik, mille küljed on võrdsed.
Ruut
S = a2
P = 4a
- a ruudu külg
- d ruudu diagonaal
Ruut on rööpküliku, ristküliku ja rombi erijuht.
Trapets
S = k ⋅ h
P = a + b + c + d
- a, b trapetsi alused
- h kõrgus
- k kesklõik (aluste poolsumma)
- c, d trapetsi haarad
Hulknurk
Sisenurkade summa ja diagonaalide arv
Sn = (n – 2) ⋅ 180°
- n nurkade arv
Kuna korrapärasel hulknurgal on kõik nurgad võrdsed, siis saame leida ka ühe nurga suuruse jagades sisenurkade summa tippude (külgede) arvuga.
Korrapärane n-nurk
P = na
- a hulknurga külg
- n nurkade arv
- r hulknurga apoteem ehk siseringjoone raadius
- sin φ võrdhaarse kolmnurga alusnurga siinus
NB! Pindala arvutamisel leia kõigepealt ühe võrdhaarse kolmnurga pindala ja siis korruta see nurkade arvuga.
Ring
Ringi pindala ja ümbermõõt
S = πr2
C = 2πr
d = 2r
- S pindala
- C ringi ümbermõõt või ringjoone pikkus
- r raadius
- d diameeter
Kaare pikkus ja sektori pindala
l = r ⋅ φ
- l kaare pikkus
- r ringi raadius
- φ kesknurk radiaanides
Nurgad ringis
Kesknurk
Kesknurgaks nimetatakse nurka, mille tipp on ringjoone keskpunktis ja haarad toetuvad ringjoonele. Kesknurk on võrdne kaarega (kaarekraadides), millele ta toetub.
Piirdenurk
Piirdenurgaks nimetatakse nurka, mille tipp on ringjoonel ja haarad toetuvad ringjoonele. Piirdenurk on võrdne poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast.
Thalese teoreemi kohaselt on diameetrile toetuv piirdenurk täisnurk.
Haardenurk
Ringjoone puutuja on puutepunktis raadiusega risti.
Puutujatevahelist nurka nimetatakse ka haardenurgaks.
- Service provided by Star Cloud LLC