Tehted vektoritega ruumis

Kõik eelmise peatüki punktides 1 kuni 12 öeldu jääb jõusse ka siis, kui vaatleme vektorit ruumis.

Näiteks vektorite \vec{u} ja \vec{v} liitmisel rakendame samuti vektori \vec{v} vektori \vec{u} lõpp-punkti. Summaks \vec{u}+\vec{v} saame vektori, mille algus­punkt on vektori \vec{u} algus­punkt ja lõpp-punkt vektori \vec{v} lõpp-punkt. Selle ees­kirja järgi saab liita ka kolm või enam vektorit, kus­juures liidetavad vektorid ei tarvitse asetseda ühel tasandil:

\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AG} (joon. 2.38).

Joon. 2.38

Ka ruumis saame vektori lahutamise asendada vastand­vektori liitmisega:

\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AG} (joon. 2.38).

Et kontrollida, kas kaks vektorit on kollineaarsed, püüame ka ruumilisel juhul neist ühte teise kaudu avaldada.

Näide 1.

Kontrollime, kas \vec{u}\ \parallel\ \vec{v}, kui \vec{a}=\vec{v}-2\vec{b}+\vec{c} ja 3\vec{c}=3\vec{a}+6\vec{b}-\vec{u}.

Avaldades antud võrdustest vektorid \vec{v} ja \vec{u}, saame, et \vec{v}=\vec{a}+2\vec{b}-\vec{c} ja \vec{u}=3\vec{a}+6\vec{b}-3\vec{c}, millest näeme, et \vec{u}=3\vec{v}. Seega \vec{u}\ \parallel\ \vec{v}.

Vastus. Vektorid \vec{u} ja \vec{v} on kollineaarsed.

Näide 2.

Arvutame vektori \vec{v} pikkuse, kui \vec{v}=\vec{c}-5\vec{b} ning vektorid \vec{b} ja \vec{c} on ristuvad ühik­vektorid.

Et \left|\vec{v}\right|=\sqrt{\vec{v}^2}, siis

\left|\vec{v}\right| = \sqrt{\left(\vec{c}-5\vec{b}\right)^2} = \sqrt{\vec{c}^2-10\vec{c}\vec{b}+25\vec{b}^2} = \sqrt{\left|\vec{c}\right|^2-10\vec{c}\vec{b}+25\vec{\left|b\right|}^2}.

Kuna \vec{b} ja \vec{c} on ristuvad ühik­vektorid, siis \left|\vec{c}\right|^2=\left|\vec{b}\right|^2=1 ja \vec{c}\vec{b}=0.

Seega \left|\vec{v}\right| = \sqrt{\left|\vec{c}\right|^2-10\vec{c}\vec{b}+25\vec{\left|b\right|}^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}.

Vastus. \left|\vec{v}\right|=\sqrt{26}.

More like this
More options

Ülesanded B

Ülesanne 470. Lihtsustamine

3\left(\vec{a}-5\vec{b}\right)-2\left(0,5\vec{a}-5\vec{b}+\vec{c}\right) = 

-5\left(\vec{a}-2\vec{b}\right)+4\left(0,3\vec{a}-4\vec{c}+3\vec{a}\right) = 

\left(3\vec{u}-2\vec{v}\right)\left(2\vec{u}-3\vec{v}\right) = 

\left(7\vec{s}-5\vec{t}\right)\left(4\vec{t}-3\vec{u}\right) = 

Ülesanne 471. Vektorite liitmine
Joon. 2.38

\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{FA} = 

\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{GB} = 

\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{GA} = 

Joon. 2.38

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE} = 

\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{GC} = 

Ülesanne 472. Vektorite liitmine ja lahutamine
Joon. 2.38

\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD} = 

\overrightarrow{ED}-\overrightarrow{AC} = 

\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{HB} = 

Joon. 2.38

\overrightarrow{EG}-\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{DE} = 

\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{BC} = 

Joon. 2.38

\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{EG}-\overrightarrow{CE} = 

\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DE} = 

Ülesanne 473. Tehted vektoritega

Avaldage vektorite \vec{a}=\overrightarrow{AB}, \vec{b}=\overrightarrow{AD} ja \vec{c}=\overrightarrow{AE} kaudu järgnevad vektorid.

\overrightarrow{AC} = 

\overrightarrow{AF} = 

\overrightarrow{AG} = 

\overrightarrow{CD} = 

\overrightarrow{CF} = 

\overrightarrow{EC} = 

Joon. 2.38
Ülesanne 474. Tehted vektoritega

Avaldage \overrightarrow{DK}, \overrightarrow{DL}, ja \overrightarrow{KL} vektorite \vec{a}=\overrightarrow{DA}, \vec{b}=\overrightarrow{DC} ja \vec{c}=\overrightarrow{DH} kaudu.

Joon. 2.38

\overrightarrow{DK} = 

\overrightarrow{DL} = 

\overrightarrow{KL} = 

Ülesanne 475. Tehted vektoritega

Avaldage vektorite \vec{a}=\overrightarrow{AB}, \vec{b}=\overrightarrow{AC} ja \vec{c}=\overrightarrow{AD} kaudu vektorid \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD} ja \overrightarrow{CD}.

Vastus. \overrightarrow{BC} = , \overrightarrow{BD} = , \overrightarrow{CD} = .

Avaldage vektorite \vec{a}=\overrightarrow{AB}, \vec{b}=\overrightarrow{AC} ja \vec{c}=\overrightarrow{AD} kaudu vektor \overrightarrow{DM}, kus M on serva BC kesk­punkt.

Vastus. \overrightarrow{DM} = .

Avaldage vektorite \vec{a}=\overrightarrow{AB}, \vec{b}=\overrightarrow{AC} ja \vec{c}=\overrightarrow{AD} kaudu vektor \overrightarrow{AQ}, kus Q on tahu BCD raskus­kese.

Vastus. \overrightarrow{AQ} = .

Ülesanne 476. Tehted vektoritega

Avaldage vektorid \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} ja \overrightarrow{BC} vektorite \vec{a}=\overrightarrow{MN}, \vec{b}=\overrightarrow{KM} ja \vec{c}=\overrightarrow{KL} kaudu.

\overrightarrow{AB} = 

\overrightarrow{AC} = 

\overrightarrow{BC} = 

Ülesanne 477. Tehted vektoritega

A…H on rööp­tahukas.

Olgu \overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AD}=\vec{b} ja \overrightarrow{AE}=\vec{c}. Tehke joonis ja märkige sellel vektor

  1. \vec{a}+\vec{b}+\vec{c};
  2. 0,5\vec{a}+0,5\vec{b}+\vec{c};
  3. 2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c};
  4. -\vec{a}-\vec{b}+0,5\vec{c}.
Ülesanne 478. Vektorite kollineaarsus

Kontrollige, kas vektorid \vec{u} ja \vec{v} on kollineaarsed, kui

3\vec{u}+6\vec{v}=\vec{0}.

Vastus. Vektorid \vec{u} ja \vec{v}  kollineaarsed.

Kontrollige, kas vektorid \vec{u} ja \vec{v} on kollineaarsed, kui

3\vec{u}-2\vec{v}-4\vec{s}=\vec{0} ja \vec{s}-5\vec{v}-2\vec{u}=\vec{0}.

Vastus. Vektorid \vec{u} ja \vec{v}  kollineaarsed.

Kontrollige, kas vektorid \vec{u} ja \vec{v} on kollineaarsed, kui

2\vec{s}+3\vec{v}-4\vec{t}-2\vec{u}=\vec{0} ja 2\vec{v}+2\vec{t}-\vec{s}-2\vec{u}=\vec{0}.

Vastus. Vektorid \vec{u} ja \vec{v}  kollineaarsed.

Kontrollige, kas vektorid \vec{u} ja \vec{v} on kollineaarsed, kui

\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{5}{2}\vec{s}-0,7\vec{v}+5\vec{t}=\vec{0} ja 2\vec{u}-15\vec{s}-30\vec{t}=\vec{0}.

Vastus. Vektorid \vec{u} ja \vec{v}  kollineaarsed.

Ülesanne 479. Vektorite skalaar­korrutis

Arvutage \vec{u}\cdot\vec{v}, kui \vec{a}, \vec{b} ja \vec{c} on ristuvad ühik­vektorid.

\vec{u}=2\vec{a}-3\vec{b}+7\vec{c}, \vec{v}=4\vec{a}-2\vec{b}-\vec{c}

Vastus. \vec{u}\cdot\vec{v} = 

Arvutage \vec{u}\cdot\vec{v}, kui \vec{a}, \vec{b} ja \vec{c} on ristuvad ühik­vektorid.

\vec{u}=2\vec{a}+2\vec{b}-3\vec{c}, \vec{v}=2\vec{a}-4\vec{c}

Vastus. \vec{u}\cdot\vec{v} = 

Arvutage \vec{u}\cdot\vec{v}, kui \vec{a}, \vec{b} ja \vec{c} on ristuvad ühik­vektorid.

\vec{u}=9\vec{c}-\vec{b}+2\vec{a}, \vec{v}=2\vec{b}-\vec{a}+\vec{c}

Vastus. \vec{u}\cdot\vec{v} = 

Ülesanne 480. Ristuvad vektorid

Kas vektorid \vec{u} ja \vec{v} on risti?

\vec{u}=2\vec{a}-3\vec{b}+7\vec{c}, \vec{v}=4\vec{a}-2\vec{b}-\vec{c}

Vastus. Antud vektorid  risti.

Kas vektorid \vec{u} ja \vec{v} on risti?

\vec{u}=2\vec{a}+2\vec{b}-3\vec{c}, \vec{v}=2\vec{a}-4\vec{c}

Vastus. Antud vektorid  risti.

Kas vektorid \vec{u} ja \vec{v} on risti?

\vec{u}=9\vec{c}-\vec{b}+2\vec{a}, \vec{v}=2\vec{b}-\vec{a}+\vec{c}

Vastus. Antud vektorid  risti.

Ülesanne 481. Tehted vektoritega ruumis

Ühik­vektorid \vec{e}, \vec{f} ja \vec{g} moodustavad paari­kaupa nurgad 60°. Arvutage

  1. \left|2\vec{e}-\vec{f}\right| ja \left|\vec{g}+2\vec{f}\right|.
    Vastus. \left|2\vec{e}-\vec{f}\right| = ; \left|\vec{g}+2\vec{f}\right| = .
  2. vektorite 2\vec{e}-\vec{f} ja \vec{g}+2\vec{f} vaheline nurk.
    Vastus. Nende vektorite vaheline nurk on .
Ülesanne 482. Tehted vektoritega ruumis

Vektorid \vec{i}, \vec{j} ka \vec{k} on ristuvad ühik­vektorid. Leidke vektorite 5\vec{j}-\vec{k} ja 2\vec{i}+3\vec{j} vahelise nurga koosinus.

Vastus. Nende vektorite vahelise nurga koosinus on .

Ülesanne 483. Tehted vektoritega ruumis

Miks vektorite puhul ei kehti üldiselt võrdus \left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)\cdot\vec{t}=\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\cdot\vec{t}\right)? Tooge kontra­näide.

Ülesanne 484. Lihtsustamine

\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right) = 

\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\left(\vec{a}^2-\vec{a}\vec{b}+\vec{b}^2\right) = 

Ülesanne 485. Oktaeeder
Joon. 2.39

Avaldage joonisel näidatud vektorid \vec{a}, \vec{b} ja \vec{c} vektorite \vec{u}, \vec{v} ja \vec{w} kaudu.

\vec{a} = 

\vec{b} = 

\vec{c} = 

Millise keha määravad oktaeedri tahkude raskus­keskmed?
Vastus. Oktaeedri tahkude raskus­keskmed määravad .

Avaldage selle keha mingist tipust lähtuvate servadega määratud vektorid vektorite \vec{a}, \vec{b} ja \vec{c} kaudu.

Vastus. Saadud vektorid on ,  ja .

Ülesanne 486. Kollineaarsed vektorid

Leidke parameetri p väärtus, mille korral vektorid \vec{u} ja \vec{v} on kollineaarsed, kui \vec{u}=\left(5-p\right)\vec{a}+\vec{b}+\left(4-p\right)\vec{c} ja \vec{v}=6\vec{a}+p\vec{b}+3\vec{c}.

Vastus. p = 

Ülesanne 487. Rööp­küliku pindala

Vektorid \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} on ristuvad ühik­vektorid. Arvutage vektoritega \vec{u}=2\vec{i}-4\vec{j}+4\vec{k} ja \vec{v}=-3\vec{i}+2\vec{j}+6\vec{k} määratud rööp­küliku pindala.

Vastus. S = 

Ülesanne 488. Tehted vektoritega ruumis

Vektorid \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} on ristuvad ühik­vektorid. \overrightarrow{AB}=5\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k} ja \overrightarrow{BC}=6\vec{i}-4\vec{j}-4\vec{k}.

Arvutage

  1. punkti A kaugus lõigu BC kesk­punktist.
    Vastus. Punkti A kaugus lõigu BC kesk­punktist on .
  2. punkti B kaugus kolm­nurga ABC raskus­keskmest.
    Vastus. Punkti B kaugus kolm­nurga ABC raskus­keskmest on .
Ülesanne 489. Rööp­tahukas
Joon. 2.38

Vektorid \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} on ristuvad ühik­vektorid. \overrightarrow{AB}=3\vec{i}-5\vec{j}+7\vec{k}, \overrightarrow{AD}=6\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k} ja \overrightarrow{AE}=-\vec{i}-3\vec{j}-4\vec{k} (joon. 2.38).

Arvutage

  1. rööp­tahuka A…H diagonaali AG pikkus.
    Vastus. AG = 
  2. tipu C kaugus tahu ABFE diagonaalide lõike­punktist.
    Vastus. Tipu C kaugus tahu ABFE diagonaalide lõike­punktist on .
More like this
More options