Lineaarvõrrand

Lineaarvõrrandi ja lineaarfunktsiooni mõiste
Lineaarvõrrandi lahendite arv ja graafiline lahendus

Seotud sisu

Lineaarvõrrandi lahendamine

Lineaarvõrrand

Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis pärast lihtsustamist ja liikmete viimist ühele poole saab kuju

ax + b = 0, a ≠ 0,

kus a ja b on reaalarvud, x on tundmatu.

Lineaarfunktsioon

Lineaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni

y = ax + b.

Võrrandiga ax + b = 0 leiame lineaarfunktsiooni y = ax + b nullkoha.

Märka

Lineaarvõrrandi lahendamiseks viiakse vabaliige b teisele poole võrdusmärki ja jagatakse mõlemad pooled lineaarliikme kordajaga a, mis on eelduse kohaselt nullist erinev.

$x = - \frac{b}{a}$

Näited

Näide 1

Lahendame võrrandi $\frac{m + 1}{2} = \frac{2 m + 1}{3} .$

Lahendus

Korrutame võrrandi pooled murdude ühise nimetajaga 6.

$\frac{6 (m + 1)}{2} = \frac{6 (2 m + 1)}{3}$

Taandame ja avame sulud.

3(m + 1) = 2(2m + 1)
3m + 3 = 4m + 2

Viime vabaliikmed ühele ja lineaarliikmed teisele poole võrdusmärki.

3 – 2 = 4m – 3m

Koondame ja vahetame võrrandi pooled.

m = 1

Kontroll

Saadud lahendi sobivust kontrollime algvõrrandiga.

$\frac{1 + 1}{2} = \frac{2 \cdot 1 + 1}{3}$
1 = 1, vp = pp

Vastus

Võrrandi lahend on m = 1.

Näide 2

Mõne lineaarvõrrandi esialgne kuju võib jätta mulje, et tegemist on ruutvõrrandiga.

Lahendame võrrandi

(x – 3)² = x(x + 2) – 7.

Lahendus

Avame sulud.

x² – 6x + 9 = x² + 2x – 7

Viime tundmatutega liikmed ühele poole ja vabaliikmed teisele poole.

x² – 6x – x² – 2x = –7 – 9

Koondame sarnased liikmed. Ruutliikmed koonduvad nulliks.

–8x = –16 |: (–8)

Jagame lineaarliikme kordajaga.

x = 2

Kontroll

Saadud lahendi sobivust kontrollime algvõrrandiga.

(2 – 3)²= 2(2 + 2) – 7
1 = 1, vp = pp

Vastus

Võrrandi lahendiks on x = 2.

Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge $y = \frac{1}{3} x + 4 .$

Lohista õigesse kohta võrrandi $\frac{1}{3} x + 4 = 0$ lahend.
Lohista õigesse kohta antud lineaarfunktsiooni väärtus, kui x = 0.

x = 4
x = 0
x = –12
y = 4
y = –12

Võrrand M: $\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 1}{4} = 6 .$

Teisenda võrrandi M vasak pool kujule ax + b.
Nii saab võrrand kuju
.
Märgi joonisele rohelise sirge y = ax + b algordinaat.
Märgi joonisele lilla ja rohelise sirge lõikepunkt.
Lilla sirge võrrand on
y = .
Märgi joonisele võrrandi M lahend.

(17; 6)
(6; 17)
x = 17
y = 6
y = 1,75

Seotud sisu

Lahendite arv

Mitu lahendit?

Lineaarvõrrandil ax + b = 0

on üks lahend $x = - \frac{b}{a},$ kui a ≠ 0
on lõpmata palju lahendeid, kui a = b = 0
lahendid puuduvad, kui a = 0, b ≠ 0.

Märka lahendeid

Lahendid puuduvad

Paralleelsed sirged.

Lahendeid lõpmata palju

Ühtivad sirged.

Lineaarfunktsiooni nullkohad puuduvad või on neid lõpmata palju.

Näited

Lahendeid lõpmata palju

Lahendame võrrandi 6(x – 3) = 2(3x – 9).

Lahendus

6x – 18 = 6x – 18
6x – 6x = 18 – 18
0x = 0

Tegemist on samasusega 0 = 0. Seega sobivad lahendiks kõik reaalarvud ja võrrandil on lõpmatult palju lahendeid.

Vastus

x ∈ ℝ

Lahendid puuduvad

Lahendame võrrandi 2x – 4 = 2(4 + x).

Lahendus

2x – 4 = 8 + 2x
2x – 2x = 8 + 4
0x = 12

Sellel võrrandil lahendid puuduvad, kuna nulliga jagada ei saa ja ei leidu ühtegi arvu, mis nulliga korrutamisel annaks vastuseks 12.

Vastus

x ∈ ∅

Mõtle

Milline joonis kirjeldab võrrandi 3(3x – 1) = 6(0,5 + x) lahendit?

Milline joonis kirjeldab võrrandi 3(3x – 1) = 6(0,5 + x) + 3x lahendit?

Milline joonis kirjeldab võrrandi 3(3x + 1) = 6(0,5 + x) + 3x lahendit?

Milline joonis kirjeldab võrrandi 3(x – 2) – 2(2x – 3) = 2x lahendit?

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$\frac{3 x}{0,5} = \frac{4,5}{3}$
x =
$\frac{2}{3} (x + 3) = \frac{6 + 2 x}{2}$
x =
$\frac{17 x + 26}{4 x + 3} - 3 = 0$
x =

Lahenda võrrandid

$2 x - \frac{3 x - 4}{2} - \frac{x + 1}{3} =$ $1 - (1 - \frac{x + 2}{2})$
x =

$2 x - \frac{20 - 2 x}{2} =$ $1 \frac{1}{2} - \frac{x - 5}{4} - \frac{2 x + 3}{3}$
x =

$\frac{3 x}{2} - \frac{6 - 2 x}{3} + 3 =$ $x - \frac{x - 12}{2}$
x =

$1 - \frac{1 - 2 x}{2} + \frac{x - 2}{4} - 2 = \frac{x + 2}{8}$
x =

$\frac{4 x - 3}{4} = x$
$\frac{3 x - 8}{4} = x - 2$
2(x − 6) − 3x = 6 − x
4(x − 3) − 3(2x − 4) = 0
$\frac{4 x - 3}{2} - \frac{10 x - 2}{5} = 6$

7(3 − x) = 21 − 6x
5(2x − 3) − x = 9x − 15
5(2x − 3) − 4(x − 5) = 6x + 5
$\frac{4 - 2 x}{2} = \frac{10 - 5 x}{5}$
$\frac{10 x - 1}{6} - \frac{5 x - 1}{3} = 2$

Seotud sisu

Jäta meelde

on üks lahend, kui

$a = 0$
$b = 0$
$a \neq 0$
$b \neq 0$

on lõpmata palju lahendeid, kui

$a = 0$
$b = 0$
$a \neq 0$
$b \neq 0$

lahendid puuduvad, kui

$a = 0$
$b = 0$
$a \neq 0$
$b \neq 0$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Lineaarvõrrand

Seotud sisu