Ühe muutujaga ruutvõrratused

Ruutfunktsioon
Ruutvõrratuse lahendamise etapid
Ruutvõrratuse lahendamine

Seotud sisu

Ruutfunktsioon

Mõtle

Joonisel on ruutfunktsiooni y = ax² + bx + c graafik.

Kui a > 0, siis parabool avaneb .

Liiguta liugureid nii, et parabool lõikaks x-telge.

Oranžides punktides on .
Oranžide punktide vahelises alas on .
x₁ ja x₂ on funktsiooni .

Liiguta liugureid nii, et parabool ei lõikaks x-telge. Funktsiooni väärtused on

positiivsed, kui

x ∈ ∅
x ∈ ℝ
x ∈ ℝ\{x_1,2}

ja negatiivsed, kui

x ∈ ∅
x ∈ ℝ
x ∈ ℝ\{x_1,2}

Liiguta liugureid nii, et parabool puutuks x-telge. Funktsiooni väärtused on positiivsed, kui

x ∈ ∅
x ∈ ℝ
x ∈ ℝ\{x_1,2}

Kui a < 0, siis parabool avaneb .

Liiguta liugureid nii, et parabool lõikaks x-telge.

Oranžides punktides on .
Oranžide punktide vahelises alas on .

Liiguta liugureid nii, et parabool ei lõikaks x-telge. Funktsiooni väärtused on

positiivsed, kui

x ∈ ∅
x ∈ ℝ
x ∈ ℝ\{x_1,2}

ja negatiivsed, kui

x ∈ ∅
x ∈ ℝ
x ∈ ℝ\{x_1,2}

Liiguta liugureid nii, et parabool puutuks x-telge. Funktsiooni väärtused on mittenegatiivsed, kui

x ∈ ∅
x ∈ {x_1,2}
x ∈ ℝ\{x_1,2}

Parabool

Seotud sisu

Ruutvõrratuse lahendamise etapid

Ruutvõrratus

Võrratust, mille saab esitada kujul

ax² + bx + c * 0,

kus a, b ja c on reaalarvud ning a ≠ 0, nimetatakse ruutvõrratuseks.

Ruutvõrratuse lahendamise etapid

Lahenda ruutvõrrand ax² + bx + c = 0, et leida nullkohad.

Visanda parabool, teades nullkohti ja parabooli avanemissuunda.

Leia joonise järgi lahendihulk.

Märka

Mitterange võrratuse korral, kui võrratuse märk on ≤ või ≥, tuleb lahendihulka võtta ka nullkohad.

Näited

Näide 1

Lahendame võrratuse x² > 4.

Lahendus

Viime võrratuse kujule

x² – 4 > 0

ja leiame vastava ruutfunktsiooni nullkohad, mis on –2 ja 2.

Visandame parabooli.

Leiame joonise järgi lahendihulga.

Vastus

L = (–∞;–2)∪(2; ∞)

Lahendus

Viime võrratuse kujule x² – 9 ≤ 0 ja leiame vastava ruutfunktsiooni nullkohad:

–9
–3
0
3
9

Visandame parabooli.

Leiame joonise järgi lahendihulga.

Vastus

L =

x² > 36
L =
2x² – 72 < 0
L =
–0,5x² + 18 ≤ 0
L =
–108 ≤ –3x²
L =

Seotud sisu

Ruutvõrratuse lahendamine

Mõtle kaasa

Võrrandi y² – 2y –15 = 0 lahendid on

y₁ = ja y₂ = .

Parabool avaneb , sest on nullist.
Visandame parabooli.

Ruutfunktsiooni väärtused on positiivsed seal, kus parabool on muutuja telge.

Ruutfunktsiooni väärtused on negatiivsed seal, kus parabool on muutuja telge.

Vastus

L =

(–3; 5)
[–3; 5]
(–∞; –3)U(5; ∞)
(–∞; –3]U[5; ∞)

Avame sulud ja viime kõik liikmed ühele poole, koondame. Saame esialgsega samaväärse võrratuse

x² x 0.

Vastava ruutvõrrandi lahendid on

x₁ = ja x₂ = .

Parabool avaneb , sest on nullist.
Visandame parabooli ja kanname nullkohad joonisele.

Ruutfunktsiooni väärtused on negatiivsed seal, kus parabool on muutuja telge.

Vastus

L = ;

Ruutvõrrandil –9u² + 6u – 1 = 0 on kaks võrdset lahendit.

u₁ = u₂ = $\frac{}{}$

Parabool avaneb , sest on nullist.
Visandame parabooli ja kanname nullkoha joonisele.

Ruutfunktsiooni väärtused on kõikjal negatiivsed, välja arvatud nullkohas. Seetõttu on lahendihulgaks ainult üks punkt.

Vastus

L = { $\frac{}{}$ }

Lahendihulk tühi või ℝ

Ruutvõrrandil 5x – 2x² – 9 = 0 lahendid puuduvad. Järelikult ei lõika parabool x-telge, sest nullkohti pole.

Visandame joonise. Parabool avaneb , sest on väiksem nullist.

Vastus

L =

Ruutvõrrandil 5x – 2x² – 9 = 0 lahendid puuduvad. Järelikult ei lõika parabool x-telge, sest nullkohti pole.

Visandame joonise. Parabool avaneb , sest on väiksem nullist.

Vastus

L =

Mõtle

Võrratus

Lahendihulk

(–∞; –3)∪(3; ∞ )
(–∞; –3]∪[3; ∞ )
(–3; 3)
[–3; 3]

Võrratus

Lahendihulk

(–∞; 1)∪(2; ∞ )
(–∞; 1]∪[2; ∞ )
(1; 2)
[1; 2]

Võrratus

Lahendihulk

(–∞; –5)∪(0; ∞ )
(–∞; –5]∪[0; ∞ )
(–5; 0)
[–5; 0]

Võrratus

Lahendihulk

(–∞; –4)∪(0; ∞ )
(–∞; –4]∪[0; ∞ )
(–4; 0)
[–4; 0]

Võrratus

Lahendihulk

(–∞; 2)∪(3; ∞ )
(–∞; 2]∪[3; ∞ )
(2; 3)
[2; 3]

Võrratus

Lahendihulk

(–∞; ∞ )
(–∞; –0,5)∪(–0,5; ∞ )
∅
{–0,5}

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Sobiv võrratus

L = [–2; 0]

Võrratus: x² 0

L = (–∞; –1)∪(1; ∞)

Võrratus: x² 0

L = (–∞; –2]∪[2; ∞]

Võrratus:
x² 0

L = (0; 5)

Võrratus:
x² 0

Avaldiste võrdlemine

Koosta võrratus, ava sulud, vii kõik võrratuse liikmed vasakule poole ja lihtsusta.

x² 0

Lahendihulk

(–∞; – 3)U(1; ∞)
(–∞; – 1]U[3; ∞)
(–∞; – 1)U(3; ∞)
(–∞; – 3]U[1; ∞)
(–3; 1)
(–1; 3)
[–1; 3]
[–3; 1]

Koosta võrratus, ava sulud, vii kõik võrratuse liikmed vasakule poole ja lihtsusta.

x² 0

Lahendihulk

(–∞; – 3)U(0; ∞)
(–∞; – 3]U[0; ∞)
(–∞; 0)U(3; ∞)
(–∞; 0]U[3; ∞)
(–3; 0)
(0; 3)
[0; 3]
[–3; 0]

Koosta võrratus, ava sulud, vii kõik võrratuse liikmed vasakule poole ja lihtsusta.

–x² 0

Lahendihulk

(–∞; – 5)U(–2; ∞)
(–∞; – 5]U[–2; ∞)
(–∞; 2)U(5; ∞)
(–∞; 2]U[5; ∞)
(–5; –2)
(2; 5)
[2; 5]
[–5; –2]

Koosta võrratus, ava sulud, vii kõik võrratuse liikmed vasakule poole ja lihtsusta.

0

Lahendihulk

(–∞; – 2)U(2; ∞)
(–∞; – 2]U[2; ∞)
(–∞; 2)
(–∞; 2]
(2; ∞)
[2; ∞)
[–2; 2]
(–2; 2)

Positiivsed tulemused

Auto keskmine kiirus on alla 80 km/h, aga mitte väiksem kui 30 km/h. Millise ajavahemiku jooksul jõuab auto 240 km kaugusel olevasse sihtpunkti, kui sõit algab kell 9:00?

Vastus

Auto jõuab kohale

pärast 12 ja enne viit pärast lõunat.
alates kella 12, aga kindlasti enne 17.
pärast 12 ja hiljemalt kell 5 pärast lõunat.

Ristküliku külg a on pikem kui 14 cm. Kui pikk saab olla teine külg b, et pindala ei ületaks 280 cm²?

Vastus

Külje b pikkus peab jääma piirkonda

(–∞; 20) cm
(20; ∞) cm
[0; 20] cm
(0; 20] cm
(0; 20) cm
[20; ∞) cm

Ristküliku küljed avalduvad kujul (5 – x) ja (2x + 3).

Esita pindala võrratusena, kus ruutliikme kordaja on positiivne.

x² x 0

Vastus

Muutuja x väärtuste hulk on

(0,5; 3)
[0,5; 3]
(0,5; 3]
[0,5; 3)

Täisnurkse kolmnurga kaatetid avalduvad kujul (4x + 1) ja (x – 2). Milliste muutuja x väärtuste korral on selle kolmnurga pindala ülimalt 14 ruutühikut?

Esita pindala ruutvõrratusena.

x² x 0

Leia võrratuse lahendihulk ja uuri selle sobivust ülesande tingimustega.

L = ;

Vastus

Kolmnurga pindala on ülimalt 14, kui

x ∈ ;.

Teisenda võrratus kujule x² + bx * c.

Interaktiivsel joonisel saad liugurite abil muuta funktsiooni y = x² + bx lineaarliikme kordajat b ning sirge y = c asukohta.

(0; 6)
(–3; 3)
(–2; 3)
(–2; 4)
[0; 1]
{2}
{–2}
ℝ
∅
(–∞; 0)U(6; ∞)
(–∞; –2)U(3; ∞)
(–∞; –3)U(3; ∞)

Võrratus	Lahendihulk
3x² – 18x > 0
–x² + 2x + 8 > 0
9 – x² < 0
(3x – 6)² ≤ 0
x² – 2x + 3 ≤ 0
–x² + x – 1 ≤ 0
(x – 3)² < 15 – 5x

Graafiline lahendamine

ℝ
∅
{–0,5}
{0,5}
{–5}
{5}
{1}
{3}

Võrratus	Lahendihulk
x² – x + 0,25 ≤ 0
–2x² – x – 10 ≥ 0
9x² –6x + 1 < 0
(2x + 3)² ≤ (3x – 2)(x + 8)
(x – 5)(x – 6)< x(x – 11)
$\frac{x^{2}}{3} - \frac{3 x - 2}{2} > - 5$

Märkus

Kopeeri lõpmatuse märk siit ∞
või sisesta inf (-inf).

Leia m nii, et ruutvõrrandil 4x² – 2(m + 2)x + 2 + m = 0 oleks lahendid.

Lahendada tuleb võrratus .

Koosta ja korrasta diskriminant.

D = m²

Vastus

m ∈ ; ∪ ;

Ringi raadiuses x > .
Koosta võrratus S 4π.
Lahenda võrratus.

Vastus

x ∈

Märka

Geomeetriliste kujundite mõõtmed peavad olema positiivsed.

Kujundite võrdlemine

Leia muutuja x määramispiirkond ning koosta ja korrasta pindala avaldis.

Ristkülik

x >

S₁ = x² + x +

Ruut

x >

S₂ = x² + x +

Vastus

Muutuja x väärtused peavad jääma piirkonda

(–0,7; 0,8)
(–0,5; 0,6)
(–0,5; 6,1)
(–0,4; 0,4)
(0; ∞)
(3,7; ∞)

Leia muutuja x määramispiirkond ning koosta ja korrasta pindala avaldis.

Romb

x >

S₁ = x² + x +

Rööpkülik

x >

S₂ = x² + x +

Vastus

Muutuja x väärtused peavad jääma piirkonda

(–0,7; 0,8)
(–0,5; 0,6)
(–0,5; 6,0)
(–0,4; 0,4)
(0; ∞)
(3,7; ∞)

Leia muutuja x määramispiirkond ning koosta ja korrasta pindala avaldis.

Täisnurkne kolmnurk

x >

S₁ = x² + x +

Nürinurkne kolmnurk

x >

S₂ = x² + x +

Vastus

Muutuja x väärtused peavad jääma piirkonda

(–0,7; 0,8)
(–0,5; 0,6)
(–0,5; 6,0)
(–0,4; 0,4)
(0; ∞)
(3,7; ∞)

Seotud sisu

Jäta meelde

ℝ
∅
(a; b)
[a; b]
{a}
ℝ∖{a}
(–∞; a)∪(b; ∞)
(–∞; a]∪[b; ∞)

Võrratus	Joonis 1	Joonis 2	Joonis 3
y > 0
y ≥ 0
y < 0
y ≤ 0

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Ühe muutujaga ruut­võrratused

Seotud sisu

Ruutfunktsioon

Mõtle

Parabool

Seotud sisu

Ruutvõrratuse lahendamise etapid

Ruutvõrratus

Ruutvõrratuse lahendamise etapid

Märka

Näited

Näide 1

Lahendus

Vastus

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Ruutvõrratuse lahendamine

Mõtle kaasa

Vastus

Vastus

Vastus

Lahendihulk tühi või ℝ

Vastus

Vastus

Mõtle

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Sobiv võrratus

Avaldiste võrdlemine

Positiivsed tulemused

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Graafiline lahendamine

Märkus

Vastus

Vastus

Märka

Kujundite võrdlemine

Vastus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Ühe muutujaga ruutvõrratused