Sirge ja tasandi vastastikused asendid

Sirge sihi ja tasandi normaalvektori võrdlemine
Paralleelsus ja lõikumine
Lõikepunkti koordinaatide leidmine

Seotud sisu

Võimalikud asendid

Sirge võib tasandi suhtes olla kolmes asendis:

asetseda tasandil,
olla sellega paralleelne või
lõikuda tasandiga.

Sirge s asub tasandil α, sirge t on paralleelne tasandiga α ja sirge u lõikub tasandiga α

Sirge asub tasandil, kui kõik selle sirge punktid asuvad tasandil.
Sirge on paralleelne tasandiga, kui sel pole ühtegi ühist punkti tasandiga.
Kui sirgel on vaid üks ühine punkt tasandiga, siis see sirge lõikub tasandiga.

Seotud sisu

Sihivektor ja normaalvektor

Vaatleme tasandit ax + by + cz + d = 0 ja sirget $\frac{x - x_{0}}{s_{1}} = \frac{y - y_{0}}{s_{2}} = \frac{z - z_{0}}{s_{3}}$ ja sirge punkti P(x₀; y₀; z₀).

Sirge ja tasandi vastastikune asend sõltub sellest, kas normaalvektor $\vec{n}$ on sihivektoriga $\vec{s}$ risti või mitte.

Tuletame meelde, et kaks vektorit on risti parajasti siis, kui nende skalaarkorrutis on null $\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$ .

Sirge s asetseb tasandil α parajasti siis, kui selle sihivektor $\vec{s}$ on risti normaalvektoriga $\vec{n}$ ning punkt P asub tasandil.

$\{\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{s} = 0 \\ a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d = 0 \end{cases}$

Punkti P koordinaadid rahuldavad tasandi võrrandit.

x – y + 4z –1 = 0 ja $\{\begin{cases} x = - 5 + 5 t \\ y = 6 + t \\ z = 3 - t \end{cases}$

Tasandi normaalvektor
$\vec{n} =$ (1; –1; 4)
Sirge sihivektor
$\vec{s} =$ (5; 1; –1)
Punkt sirge võrrandist
P(–5; 6; 3)
$\vec{n} \cdot \vec{s}$ 0, seega sirge olla tasandil.
Kontrollime punkti P paiknemist tasandil, asetame punkti P koordinaadid tasandi võrrandisse.
–5 – 6 + 4·3 – 1 0

Vastus

See sirge asub tasandil.

x – y + 4z –1 = 0 ja $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$

Tasandi normaalvektor
$\vec{n} =$ (1; –1; 4)
Sirge sihivektor
$\vec{s} =$ (1; –1; 2)
$\vec{n} \cdot \vec{s}$ 0, seega sirge olla tasandil.

Vaatleme tasandi 2x – y + 5z – 1 = 0 ja sirge $\frac{x}{- 1} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 1}{1}$ vastastikust asendit.

Normaalvektor
$\vec{n} =$ (2; –1; 5)
Sihivektor
$\vec{s} =$ (; ; )
Punkt sirge võrrandist
P(; ; )
$\vec{n} \cdot \vec{s} =$ = 0
Punkti ja tasandi võrrandi võrdlemine 2·0 – 4 + 5·1 – 1 =

Vastus

Sirge

Seotud sisu

Paralleelsus

Sirge s on paralleelne tasandiga α parajasti siis, kui selle sihivektor $\vec{s}$ on risti normaalvektoriga $\vec{n}$ ning punkt P ei asu tasandil.

$\{\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{s} = 0 \\ a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d \neq 0 \end{cases}$

Punkti P koordinaadid ei rahulda tasandi võrrandit.

x – y + 4z –1 = 0 ja $\{\begin{cases} x = - 2 + 5 t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - t \end{cases}$

Tasandi normaalvektor
$\vec{n} =$ (1; –1; 4)
Sirge sihivektor
$\vec{s} =$ (5; 1; –1)
Punkt sirge võrrandist
P(–2; 2; –3)
$\vec{n} \cdot \vec{s}$ 0, seega sirge olla tasandil või sellega paralleelne.
Kontrollime punkti P paiknemist tasandil, asetame punkti koordinaadid tasandi võrrandisse.
–2 + 2 – 4·3 – 1 0

Vastus

See sirge on tasandiga paralleelne.

Sirge $\{\begin{cases} x = 1 - 10 t \\ y = 3 - 2 t \\ z = - 2 + 2 t \end{cases}$ tasandiga
x – y + 4z –1 = 0
paralleelne, sest
(1; –1; 4) · (–10; –2; 2) = 0 ja
P(–1; –3; 2) ei sobi tasandi võrrandisse.
Sirge $\{\begin{cases} x = 1 + 10 t \\ y = 3 + 2 t \\ z = - 2 + 2 t \end{cases}$
ei ole tasandiga x – y + 4z –1 = 0 paralleelne, sest
(1; –1; 4) · (10; 2; 2) = .

Vaatleme tasandi 2x – y + 5z – 1 = 0 ja sirge $\frac{x}{s_{1}} = \frac{y - 4}{s_{2}} = \frac{z - 1}{s_{3}}$ vastastikust asendit.

Punkt P(0; 4; 1) sirge võrrandist tasandi võrrandisse.
Et sirge oleks paralleelne tasandiga, siis sirge sihivektor saab olla

(1; 2; 0),
(1; 7; 1),
(–3; 1; 1),
(2; –1; 5).

Seotud sisu

Lõikumine

Sirge s ja tasand α lõikuvad parajasti siis, kui selle sihivektor $\vec{s}$ ja normaalvektor $\vec{n}$ ei ole risti.

$\vec{n} \cdot \vec{s} \neq 0$

Sirge s ja tasand α on risti parajasti siis, kui selle sihivektor $\vec{s}$ ja normaalvektor $\vec{n}$ on kollineaarsed.

$\vec{n} ∥ \vec{s}$

x – y + 4z – 1 = 0 ja $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$

Normaalvektor
$\vec{n} =$ (1; –1; 4)
Sihivektor $\vec{s} =$ (1; –1; 2)
$\vec{n} \cdot \vec{s}$ 0, seega sirge lõikab tasandit.
Kui sirge lõikab tasandit, on neil üks ühine punkt M. Lahendame süsteemi parameetri t suhtes.

$\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 + 2 t \\ x - y + 4 z - 1 = 0 \end{cases}$

$2 + t - (- 2 - t) + 4 \cdot (3 + 2 t) - 1 = 0$

10t = ja t =

Ühise punkti leiame sirge võrrandi kaudu.

M(; ; )

Mõtle

Uuri tasandi ja sirge vastastikuseid asendeid.

x – 3y – 2z + 19 = 0 ja $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 1}{0}$

$\vec{n} \cdot \vec{s} \neq 0$
$\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$
$\vec{n} ∦ \vec{s}$
$\vec{n} ⊥ \vec{s}$
$\vec{n} = \vec{s}$
puudub
(3; 1; 3)
$(\frac{- 34}{11}; \frac{- 37}{11}; 1)$
$(\frac{7}{3}; \frac{- 11}{3}; \frac{1}{3})$
(0; –7; 1)
(–2; –6; 3)
(–2,5; –6,5; 3,5)
(–1; –5; 2)
(4; 7; 1)

Tunnus $\vec{n} \cdot \vec{s} \neq 0$

Asend $\vec{n} \neq \vec{s}$

Lõikepunkt

2x – y – z + 2 = 0 ja $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z}{- 1}$

$\vec{n} \cdot \vec{s} \neq 0$
$\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$
$\vec{n} ∦ \vec{s}$
$\vec{n} ⊥ \vec{s}$
$\vec{n} = \vec{s}$
puudub
(3; 1; 3)
$(\frac{- 34}{11}; \frac{- 37}{11}; 1)$
$(\frac{7}{3}; \frac{- 11}{3}; \frac{1}{3})$
(0; –7; 1)
(–2; –6; 3)
(–2,5; –6,5; 3,5)
(–1; –5; 2)
(4; 7; 1)

Tunnus

Asend

Lõikepunkt

–3x + 2y + z + 1 = 0 ja $\frac{x + 2}{- 1} = \frac{y + 4}{- 1} = \frac{z + 3}{- 1}$

$\vec{n} \cdot \vec{s} \neq 0$
$\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$
$\vec{n} ∦ \vec{s}$
$\vec{n} ⊥ \vec{s}$
$\vec{n} = \vec{s}$
puudub
(3; 1; 3)
$(\frac{- 34}{11}; \frac{- 37}{11}; 1)$
$(\frac{7}{3}; \frac{- 11}{3}; \frac{1}{3})$
(0; –7; 1)
(–2; –6; 3)
(–2,5; –6,5; 3,5)
(–1; –5; 2)
(4; 7; 1)

Tunnus

Asend

Lõikepunkt

4x – 2y + 2z – 16 = 0 ja $\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$

$\vec{n} \cdot \vec{s} \neq 0$
$\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$
$\vec{n} ∦ \vec{s}$
$\vec{n} ⊥ \vec{s}$
$\vec{n} = \vec{s}$
puudub
(3; 1; 3)
$(\frac{- 34}{11}; \frac{- 37}{11}; 1)$
$(\frac{7}{3}; \frac{- 11}{3}; \frac{1}{3})$
(0; –7; 1)
(–2; –6; 3)
(–2,5; –6,5; 3,5)
(–1; –5; 2)
(4; 7; 1)

Tunnus

Asend

Lõikepunkt

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$\vec{n}$ on tasandi normaalvektor, $\vec{s}$ on sirge sihivektor.

⊥
∥
$\vec{n} ⊥ \vec{s}$
$\vec{n} ∥ \vec{s}$

2x – 5y + z + 1 = 0 $\frac{x + 1}{- 4} = \frac{y - 3}{10} = \frac{z + 1}{- 2},$
sest
6x + 4y + 4z – 3 = 0 $\frac{x + 3}{- 3} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 7}{- 2},$
sest
x + 2y – 5z + 4 = 0 $\frac{x - 3}{- 3} = \frac{y - 7}{- 1} = \frac{z + 9}{- 1},$
sest
–x – 3y – 8 = 0 $\frac{x + 1}{- 3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{5},$
sest

Tasand lõikab koordinaattelgi punktides (–4; 0; 0), (0; 1; 0) ja (0; 0; 2). Sirge lõikab koordinaattelgi punktides (0; 4; 0) ja (–4; 0; 0).

Tasandi võrrand .
Sirge võrrand parameetriga t
$\{\begin{cases} x = \\ y = \\ z = \end{cases} .$

Lõikepunkti leidmine

t =

.

Vastus

Sirge lõikab tasandit punktis
(;; ).

Tasand lõikab koordinaattelgi punktides (1; 0; 0), (0; –2; 0) ja (0; 0; 3). Sirge lõikab koordinaattelgi punktides (3; 0; 0) ja (0; 0; –1).

Tasandi võrrand .
Sirge võrrand parameetriga t
$\{\begin{cases} x = \\ y = \\ z = \end{cases} .$

Lõikepunkti leidmine

t =

Vastus

Sirge lõikab tasandit punktis
(;; ).

s: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{- 4} = \frac{z - 3}{- 3}$

Lõikab tahke

ABCD
EFGH
ABFE
DCGH
ADHE
BCGF

punktides

(; ; )
(; ; ).

t: $\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 10}{5} = \frac{z + 1}{- 2}$

Lõikab tahke

ABCD
EFGH
ABFE
DCGH
ADHE
BCGF

punktides

(; ; )
(; ; ).

t: $\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z - 1}{- 2}$

Lõikab tahke

ABCD
EFGH
ABFE
DCGH
ADHE
BCGF

punktides

(; ; )
(; ; ).

Seotud sisu

Otsus vektorite põhjal

Sirge s punktiga A ja sihivektoriga $\vec{s}$ .
Tasand α punktiga P ja normaalvektoriga $\vec{n}$ .

$s ∥ α$
$s ⊥ α$
s lõikab α-t
s on α peal

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Sirge ja tasandi vastastikused asendid

Seotud sisu

Võimalikud asendid

Seotud sisu

Sihivektor ja normaalvektor

Punkti P koordinaadid rahuldavad tasandi võrrandit.

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Paralleelsus

Punkti P koordinaadid ei rahulda tasandi võrrandit.

Vastus

Seotud sisu

Lõikumine

Mõtle

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Otsus vektorite põhjal

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid