Nurk sirge ja tasandi vahel

Sirge sihi ja tasandi normaalvektori võrdlemine
Vektorite vaheline nurk
Tasandi ja sirge vaheline nurk
Tasandi ja sirge vahelise nurga arvutamine

Nurk ja täiendusnurk

Tasandi asendi ruumis määrab selle normaalvektor $\vec{n}$ ja sirge asendi sihivektor $\vec{s}$ . Kahe vektori vahelise nurga koosinuse valemit kasutades on lihtne leida nurka sirge s ja tasandi normaali u vahel.

$\cos γ = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|}$

Olgu t kaldsirge s projektsioon tasandil α.

Märka 1

Sirge ja tasandi vaheliseks nurgaks loetakse nurka φ sirge s ja selle projektsiooni t vahel.

Jooniselt on näha, et kaldsirge ja tasandi vaheline nurk φ on täiendusnurgaks kaldsirge ja tasandi normaali vahelisele nurgale γ. Järelikult,

cos γ = sin φ.

Kaldsirge ja tasandi vaheliseks nurgaks nimetatakse selle sirge ja tema projektsiooni vahelist nurka. Selle nurga siinuse jaoks kehtib valem

$\sin φ = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|},$

kus $\vec{n}$ on tasandi normaalvektor ja $\vec{s}$ sirge sihivektor.

Märka 2

Valem kehtib ka tasandi ristsirge korral. Sel juhul sin φ = 1 ning $φ = \frac{π}{2}$ .

Kui sirge on paralleelne tasandiga või asub sellel, siis sirge moodustab tasandiga nurga null, φ = 0.

Mitmesugused rakendused, nagu näiteks optika, eelistavad määrata sirge asendit mitte tasandi ja sirge, vaid tasandi normaali ja sirge vahelise nurga kaudu.

Optikas määratakse kiire langemis- ja murdumisnurka tasandi normaali suhtes. Mugavam on jälgida ja mõõta nurka, mille kiir moodustab tasandi normaaliga, mitte tasandi endaga.

Näide

Mõtle kaasa. Leiame nurga, mille moodustab punkte A(–3; 1; 4) ja B( –1; –3; 6) läbiv sirge tasandiga y – z + 7 = 0.

Sirge sihivektor $\vec{A B} =$
Tasandi normaalvektor $\vec{n} =$
Kaldsirge ja tasandi vahelise nurga leidmiseks

$φ = \frac{||}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} =$ $\frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ja φ = 60°.

Vastus

Kaldsirge ja tasandi vaheline nurk on 60°.

Sirge sihivektor $\vec{A B} =$
Tasandi normaalvektor $\vec{n} =$
Leiame nurga tasandi normaalvektori ja sirge sihivektori vahel.

$φ = \frac{|- 3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} =$ $\frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ja φ = 30°

Leiame kaldsirge ja tasandi vahelise nurga.
– 30° = 60°.

Vastus

Kaldsirge ja tasandi vaheline nurk on 60°.

Leiame tasandi α, millel asuvad punktid A, B ja C. P(x; y; z) on suvaline punkt tasandil.

$|\begin{matrix} \vec{C P} \\ \vec{A B} \\ \vec{A C} \end{matrix}| = |\begin{matrix} x + 1 & y - 1 & z \end{matrix}| =$

Tasandi võrrand on = 0.

Leiame servadesuunalised vektorid.
- $\vec{D A} =$ ()
- $\vec{D B} =$ ()
- $\vec{D C} =$ ()

Tähistame servade DA, DB ja DC ning tasandi α vahelised nurgad vastavalt β, γ ja δ.
- β = $β = \frac{||}{\sqrt{}},$
  β ≈ °
- γ = $γ = \frac{||}{\sqrt{}},$
  γ ≈ °
- δ = $δ = \frac{||}{\sqrt{}},$
  δ ≈ °

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Tahu ABC võrrand
$|\begin{matrix} \vec{C P} \\ \vec{A B} \\ \vec{A C} \end{matrix}| = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$
= 0
Tahu ABD võrrand
$|\begin{matrix} \vec{D P} \\ \vec{A B} \\ \vec{A D} \end{matrix}| = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$
= 0
Serva AD sihivektor ()
Tahu ABC ja serva AD vaheline nurk on °.
Tahkude ABC ja ABD vaheline nurk on °.

Seotud sisu

Nurga arvutamise reeglid

$\vec{s}$ tähistab sirge sihivektorit.
$\vec{n}$ tähistab tasandi normaalvektorit.

Kaldsirge ja tasandi vaheliseks nurgaks nimetatakse sirge ja selle sirge projektsiooni vahelist nurka, see leitakse

$\cos φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\sin φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{s_{1}} \cdot \vec{s_{2}}|}{|\vec{s_{1}}| \cdot |\vec{s_{2}}|}$

Sirge sihivektori ja tasandi normaalvektori vahelist nurka leitakse

$\cos φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\sin φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{s_{1}} \cdot \vec{s_{2}}|}{|\vec{s_{1}}| \cdot |\vec{s_{2}}|}$

Kahe sirge vahelist nurka leitakse

$\cos φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\sin φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{s_{1}} \cdot \vec{s_{2}}|}{|\vec{s_{1}}| \cdot |\vec{s_{2}}|}$

Sirgete sihivektorite vahelist nurka leitakse

$\cos φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\sin φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{s_{1}} \cdot \vec{s_{2}}|}{|\vec{s_{1}}| \cdot |\vec{s_{2}}|}$

Tasandite vahelist nurka leitakse

$\cos φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\sin φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{s_{1}} \cdot \vec{s_{2}}|}{|\vec{s_{1}}| \cdot |\vec{s_{2}}|}$

Tasandite normaalvektorite vahelist nurka leitakse

$\cos φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\sin φ = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|}$
$\cos φ = \frac{|\vec{s_{1}} \cdot \vec{s_{2}}|}{|\vec{s_{1}}| \cdot |\vec{s_{2}}|}$

Sirge ja tasandi vaheline nurk nende sihivektori ja normaalvektori vahelise nurgaga.
Sirge ja sirge vaheline nurk nende sihivektorite vahelise nurgaga.
Tasandi ja tasandi vaheline nurk nende normaalvektorite vahelise nurgaga.