Ruutfunktsioon y = ax²

Kõigis seni õpitud seostes avaldub muutuja y muutuja x kaudu nii, et muutuja x astendaja pole suurem kui 1 (y = ax, y = ax + b, $y = \frac{a}{x}$ ). Järgnevas õpime tundma selliseid seoseid kahe muutuja x ja y vahel, milles muutuja x kõrgeim aste on 2. Need funktsioonid kannavad ühist nimetust ruutfunktsioon.

Kõige üldisem kuju sellistel funktsioonidel on y = ax² + bx + c, kus liidetav ax² kannab nimetust ruutliige, bx – lineaarliige ja c – vabaliige. Kordajaid a ja b nimetatakse vastavalt ruutliikme ja lineaarliikme kordajaks, võrduse paremal pool olevat avaldist aga ruutkolmliikmeks.

Ruutfunktsioonid etendavad tähtsat osa nii matemaatikas endas kui ka mitmesuguste elus ettetulevate nähtuste ja protsesside kirjeldamisel. Nii saame ruutfunktsiooni abil kirjeldada ühtlaselt kiireneva liikumise aja ja selle aja jooksul läbitud teepikkuse vahelist seost, kahurist väljatulistatud mürsu trajektoori jne.

Näide 1

Kõrgel mägedes keeb vesi 100°-st madalama temperatuuri juures. Kui vee keemistemperatuur on t (Celsiuse kraadides) ja keetmiskoha kõrgus merepinnast h (meetrites), siis kehtib väga ligikaudne seos h ≈ –0,5t² – 200t + 25 000.

Kontrolli, kas selle valemi järgi saame keemistemperatuuri 100° korral kõrguseks merepinnast 0 m.
Anname muutujale t antud seoses väärtuseks 100 ja kontrollime, kas kõrgus h merepinnast on sellisel juhul 0 m.
h ≈ –0,5 · 10 000 – 200 · 100 + 25 000 = 0 (m)
Leia keetmiskoha kõrgus merepinnast, kui vee keemistemperatuur on seal 90°.
Selleks arvutame antud valemi abil h väärtuse, kui t = 90. Saame, et h ≈ –0,5 · 8100 – 200 · 90 + 25 000 = 2950 (m)

Vastus. Vee keemistemperatuur on 90 kraadi 2950 m kõrgusel.

Vaatleme kõigepealt lihtsamaid ruutfunktsioone.

Näide 2

Kui kuubi serva pikkus on u cm, siis kuubi ühe tahu pindala on u² cm². Kuubi täispindala avaldub sel juhul valemiga S = 6u².

Andes muutujale u väärtused 0,5; 1; 2; 3; 5; 10, saame arvutada muutuja S vastavad väärtused. Koostame tabeli

See tabel esitab seost kuubi serva pikkuse u ja kuubi pindala S vahel. Näeme, et muutuja S väärtuse leidmiseks tuleb muutuja u vastav väärtus tõsta ruutu ja tulemus korrutada arvuga 6.

Analoogilisi seoseid erinevate muutujate vahel võib leida veelgi. Näiteks keha vabal langemisel arvutatakse selle keha poolt läbitud teepikkust s valemi s = 4,9t² põhjal, kus t on aeg sekundites ja s läbitud teepikkus meetrites. Samuti saame analoogilise valemi S = 4πr² abil leida näiteks Kuu kogupindala ligikaudse väärtuse, teades Kuu raadiust jne.

Üldiselt, kui tähistame nendes valemites muutujaid tähtedega x ja y ning antud arvu tähega a (a ≠ 0), siis on nende valemite ühine kuju

y = ax².

See on kõige üldisema ruutfunktsiooni y = ax² + bx + c erijuht, mille saame, kui kordajad b ja c valemis võrdsustame nulliga.

Muutuja x on selle funktsiooni argument. Valemi y = ax² põhjal vastab argumendi x igale väärtusele muutuja y üks kindel väärtus. Seda väärtust nimetatakse argumendile x vastavaks ruutfunktsiooni y = ax² väärtuseks. Kui näiteks x = 2, siis ruutfunktsiooni y = 4x² vastav väärtus y = 4 · 2² = 4 · 4 = 16.

Ruutfunktsioon y = ax² on antud, kui on antud kordaja a väärtus ning argumendi x väärtuste hulk. Sellisel juhul saame leida argumendi x igale väärtusele sellest hulgast vastava muutuja y väärtuse. Argumendi x väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ning muutuja y vastavate väärtuste hulka funktsiooni väärtuste piirkonnaks ehk ka muutumispiirkonnaks.

Kui määramispiirkonda pole ülesandes märgitud, siis mõeldakse määramispiirkonna all kogu reaalarvude hulka.

Määramis- ja muutumispiirkonna üleskirjutamisel kasutame loogelisi sulge ja märki ∈. Näiteks, kui määramispiirkonnaks on arvud 1; 2; 3 ja 4, siis kirjutame selle kujul x ∈ {1; 2; 3; 4}. Sisuliselt tähendab selline kirjaviis seda, et muutuja x on element arvude hulgast (kuulub hulka) {1; 2; 3; 4}. Analoogiliselt toimime ka muutumispiirkonna puhul.

Näide 3

On antud ruutfunktsioon y = 3x², kus x ∈ {–3; –1; 0; 2; 4; 6}. Selle funktsiooni määramispiirkonnaks on hulk {–3; –1; 0; 2; 4; 6}. Kui argumendi x väärtus on näiteks –3, siis antud funktsiooni vastav väärtus on y = 3 · (–3)² = 3 · 9 = 27.

Kui x = –1, siis funktsiooni väärtus on y = 3 · (–1)² = 3 · 1 = 3, ja kui x = 0, siis y = 0. Nii saame arvutada argumendi x igale antud väärtusele vastava ruutfunktsiooni väärtuse. Selle ruutfunktsiooni väärtuste piirkond on {27; 3; 0; 12; 48; 108}.

Kui ruutfunktsiooni y = ax² kordaja a väärtus pole antud, kuid on teada muutujate x ja y üks vastavate väärtuste paar, siis saame a väärtuse leida.

Näide 4

Ruutfunktsiooni y = ax² väärtus on 4, kui argumendi x väärtus on –1. Kordaja a leidmiseks asetame x ja y väärtused valemisse y = ax² ja saame, et 4 = a(–1)², millest a = 4. Seega antud funktsiooni valem on y = 4x².

Seotud sisu

Ülesanded A

Mille poolest erineb ruutfunktsioon y = ax² võrdelisest, pöördvõrdelisest ja lineaarsest seosest?
Millised tingimused peavad olema täidetud, et saaks öelda „ruutfunktsioon y = ax² on antud”?
Mida nimetatakse ruutfunktsiooni y = ax² määramispiirkonnaks? väärtuste piirkonnaks?
Millist arvuhulka mõeldakse ruutfunktsiooni y = ax² määramispiirkonna all, kui seda piirkonda pole antud?

x
y

$x \in \{;;;;;;\}$

$y \in \{;;;;;;\}$

x
y

$x \in \{;;;;;;\}$

$y \in \{;;;;;;\}$

Arvuta

keha vabal langemisel läbitud teepikkus s (m), kui langemise aeg t on antud.

t	3 s	5 s	10 s
s	m	m	m

keha vaba langemise aeg t (s), kui teepikkus s on antud.

s	500 m	1000 m	3000 m
t	s	s	s

Vaba langemise valem ei arvesta õhutakistusega. Sulg langeks selle valemi järgi õhutühjas ruumis.

0,4 ≤ x ≤ 2,5
$\leq x^{2} \leq$

2 ≤ x ≤ 8,2
$\leq x^{2} \leq$

–3 ≤ x ≤ 3
$\leq x^{2} \leq$

$y = k x^{2}$
$y = 2 m x^{2}$
$y = \frac{x^{2}}{2}$
$y = k^{2} x$
$y = \frac{k^{2}}{x}$
$y = \frac{k^{2}}{m} x^{2}$
$y = \frac{m}{x^{2}} k$
$y = \frac{3 m}{k} x^{2}$

Muutuja x väärtus	Muutuja y väärtus	Kordaja a väärtus	Funktsiooni valem
x = 2	y = 8
x = 4	y = 8
x = 1	y = –3
x = 0,2	y = –2

Seotud sisu

Ülesanded B

y = x²

Mitu korda suureneb ruudu pindala, kui ta diagonaali suurendada 2 korda, 4 korda? vähendada 3 korda, 5 korda?

Avalda ruudukujulise plaadi mass m, kui plaadi külje pikkus on s cm, paksus 1 cm ning aine tihedus

ρ \frac{g}{{cm}^{3}}

m = ρ

Kuidas muutub plaadi mass m, kui

tihedus kasvab 2, 3, 4, … korda;
külje pikkus kasvab 2, 3, 4, … korda?

–3 ≤ x ≤ 4;

\leq x^{2} \leq

–5 ≤ x ≤ 2;
$\leq x^{2} \leq$

0 ≤ x ≤ 5.
$\leq x^{2} \leq$

Muutuja x väärtus	Muutuja y väärtus	Kordaja a väärtus	Funktsiooni valem
x = –4	y = –3,2
x = 3	y = 17,1
x = 2	y = 8m
x = k	y = 4

Arvuta koormuse ülemmäärad, kui trossi läbimõõt on

\frac{1}{32}

\frac{1}{16}

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{1}{1}

tolli.

Trossi läbimõõt	Koormuse ülemmäär
$\frac{1}{32}$ tolli	tonni
$\frac{1}{16}$ tolli	tonni
$\frac{1}{8}$ tolli	tonni
$\frac{1}{4}$ tolli	tonni
$\frac{1}{2}$ tolli	tonni
$\frac{1}{1}$ tolli	tonni

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Ruut­funktsioon y = ax2

Näide 1

Näide 2

Näide 3

Näide 4

Seotud sisu

Ülesanded A

Seotud sisu

Ülesanded B

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Ruutfunktsioon y = ax²