Курс "Тригонометрия"
Из курса основной школы мы знаем, что треугольник определен однозначно каждой из комбинаций его элементов:
- три стороны,
- две стороны и угол между ними,
- одна сторона и два прилежащих к ней угла.
Последний случай часто формулируют как сторона и два угла, так как если один из прилежащих углов не известен, то он сразу находится по двум другим углам.
Во все этих трех случаях треугольник можно построить.
После того, как выполнено решение треугольника, результат необходимо проверить, сделав хотя бы приблизительную прикидку результатов. Для этого нужно проверить, что
- сумма углов треугольника α + β + γ = 180°,
- сумма меньших сторон больше третьей стороны,
- против большей стороны расположен и больший угол.
Пример.
Решим треугольник, если a = 17,6, c = 19,4 и β = 103°18'.
По теореме косинусов найдем сторону b:
b2 = 17,62 + 19,42 – 2 · 17,6 · 19,4 · cos 103°18' = 686,12 + 682,88 ⋅ 0,2300 ≈ 843,18,
откуда b ≈ 29,04.
Так как a + c = 17,6 + 19,4 > 29,04 и бóльшая сторона b расположена против тупого угла β = 103°18′, то можно полагать, что длина стороны b найдена правильно.
Один из углов α или γ можно найти по теореме синусов, так как угол β нам известен. Например, найдем по этой теореме угол α:
Теперь угол γ найти совсем просто:
γ = 180° – (103°18' + 36°9') = 40°33'.
Заметим, что стороны и соответствующие углы по величине расположены в одинаковом порядке: α < γ < β и a < c < b.
Поэтому можно полагать, что треугольник решен правильно.
Ответ: b ≈ 29,04; α ≈ 36°9'; γ ≈ 40°33'.
- a = 17,1, b = 20,5, γ = 15°
- a = 10, b = 18,1, c = 8
- c = 50, α = 60°, β = 110°
- b = 90, a = 84, α = 96°
- c = 12, α = 40°, γ = 15°
Ответ: бóльшая диагональ параллелограмма равна
