Курс „Функции”
Уравнение sin x = m имеет решения только тогда, когда |m| ≤ 1, поскольку –1 ≤ sin x ≤ 1.
В разделе 12.4 из равенства sin x = m мы нашли только наименьший по абсолютной величине угол arcsin m, синус которого равен m. В примере 2 мы получили, что
В примере 2 раздела 12.1 мы решали уравнение
Графически решить уравнение sin x = m – это значит найти абсциссы всех точек пересечения линий y = sin x и y = m. Таких абсцисс бесконечно много, и корнями уравнения sin x = m являются
x1 = arcsin m + 2kπ и x2 = –arcsin m + (2k + 1)π, где k ∈ Z.
Если угол arcsin m найден в градусной мере, то и углы 2π и π нужно выразить в градусах. В этом случае
x1 = arcsin m + 360°k и x2 = –arcsin m + (2k + 1) · 180°, где k ∈ Z.
Полученные решения x1 и x2 уравнения sin x = m, x1 = α + 2kπ и x2 = –α + (2k + 1)π, где k ∈ Z и α = arcsin m, можно объединить в так называемое общее решение[понятие: Общее решение (üldldhend) – такое выражение, из которого можно выразить все решения (корни) рассматриваемого уравнения (и только их). Обычно содержит параметр, при каждом конкретном значении которого получается частное решение уравнения.] в виде
x = (–1)n arcsin m + nπ, или x = (–1)n arcsin m + n · 180°, где n ∈ Z.
Придавая n конкретное целочисленное значение, получим из общего решения конкретный корень уравнения sin x = m, так называемое частное решение[понятие: Частное решение (erilahend) – для тригонометрического уравнения – решение, получающееся из формулы общего решения при конкретном целочисленном значении 𝑛.].
Пример 1.
Решим уравнения: 1) sin x = 0; 2) sin x = 0,6428; 3) sin x = –0,5526.
- Так как arcsin 0 = 0 (рад), то x = (–1)n · 0 + nπ, или x = nπ, где n ∈ Z.
- Значению синуса 0,6428 соответствует угол arcsin 0,6428 ≈ 40°0'. Поэтому решение уравнения sin x = 0,6428 выразится в виде x = (–1)n · 40° + n · 180°, где n ∈ Z.
- Поскольку arcsin (–0,5526) ≈ –33°33', то общим решением будет x = (–1)n · (–33°33') + n · 180°, или x = (–1)n+1 · 33°33' + n · 180°, где n ∈ Z.
Найденные корни тригонометрических уравнений следует, как правило, проверить, поскольку при решении таких уравнений могут возникать посторонние корни[понятие: Посторонний корень (võõrlahend) – корень уравнения (решение неравенства), полученный при решении уравнения, полученного в результате преобразования исходного уравнения (неравенства) и не являющийся корнем (решением) исходного уравнения (неравенства).]. Если получено общее решение, то проверку достаточно сделать лишь для углов, получающихся при n = 0 и n = 1. В случае, когда решение записывается в виде двух серий х1 и х2, проверку производят в обеих сериях для случая n = 0.
Пример 2.
В разделе 12.7 мы рассматривали уравнение
Сначала найдем общие решения основных уравнений
- Так как
\arcsin1=90\degree , то общим решением уравнения\sin x=1 будетx_1=\left(-1\right)^n90°+n\cdot180° , n ∈ Z. - Если
\sin x=-0,4 , то\arcsin(-0,4)=-23°35' и общим решением будетx_2=\left(-1\right)^n\left(-23\degree35'\right)+n\cdot180° , илиx_2=\left(-1\right)^{n+1}\cdot23°35'+n\cdot180° .
Найдем из общего решения те частные решения, которые расположены в отрезке
x_1=\left(-1\right)^n90°+n\cdot180° . Еслиn=0 илиn=1 , то получим угол\mathrm{\alpha}_1=90\degree ; еслиn=2 илиn=3 , то получим угол\mathrm{\alpha}_2=450\degree .x_2=\left(-1\right)^{n+1}\cdot23°35'+n\cdot180° . Еслиn=1 , то\mathrm{\alpha}_3=203\degree35' ; еслиn=2 , то\mathrm{\alpha}_4=336\degree25' .
Проверка показывает, что все эти значения являются корнями уравнения. Таким образом, корнями исходного уравнения в данном отрезке являются углы 90°; 203°35'; 336°25'; 450°.
Как мы уже убедились, для решения тригонометрических уравнений нет универсального метода. Существует много различных способов решения, из которых в каждом конкретном случае нужно выбрать подходящий. Нередко одно и то же уравнение можно решить несколькими способами.
Пример 3.
Решим уравнение
При решении тригонометрических уравнений, как правило, рекомендуется перейти к одной и той же тригонометрической функции. Это можно сделать, например, с помощью первой основной формулы тригонометрии
