Тригонометрические уравнения

Курс „Функции”

При решении задач, связанных с тригонометрическими функциями, часто получаются уравнения, в которых неизвестное содержится лишь в аргументе тригонометрической функции. Например, чтобы найти нули функции y = tan x – cos x, нужно решить уравнение tan x – cos x = 0.

Например, уравнения \cos3x+\cos x=0 и 2\sin x+3=0 – тригонометрические, а уравнения 2x\sin\frac{\pi}{6}+\tan\frac{\pi}{23}=0 и 3x-5\cos x=0 таковыми не являются.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида

где m – заданное число. Эти уравнения называются основными[понятие: Основное тригонометрическое уравнение (trigonomeetriline põhivõrrand) – одно из тригонометрическиз уравнений sin 𝑥 = 𝑚, cos 𝑥 = 𝑚 и tan 𝑥 = 𝑚, где 𝑚 – заданная постоянная.] (или элементарными) тригонометрическими уравнениями.

Решение более сложных тригонометрических уравнений часто сводят к решению одного или нескольких основных тригонометрических уравнений. Например, чтобы решить уравнение \sin^2x-0,6\cdot\sin x-0,4=0, решим его сначала как квадратное уравнение относительно sin x:

\sin x=\frac{0,6\pm\sqrt{0,36+1,6}}{2}=0,3\pm0,7, откуда sin x = 1 или sin x = –0,4.

Теперь остается решить основные уравнения sin x = 1 и sin x = –0,4. Методы решения основных тригонометрических уравнений рассмотрим в следующих разделах.