Курс „Последовательности. Производная функции”
Обозначим длину участка через х, х > 0, а его площадь через у. Так как ширина участка должна быть в этом случае 100 – x (рис. 3.28), то площадь у выражается как функция от переменной х так: y = x(100 – x).
Задача свелась к нахождению таких значений аргумента, при которых функция имеет максимальное значение. Как найти эти значения?
Экстремум – это общее наименование для максимума и минимума.
Экстремум функции – это ее значение (в точке максимума или в точке минимума).
Точка экстремума – это значение аргумента, при котором функция имеет максимум или минимум.
Точка экстремума графика функции – это точка (х0; f (x0)), координатами которой являются точка экстремума х0 и соответствующее значение (экстремум) функции.
На рисунке 3.29 (а, б) видно, что если дифференцируемая на интервале (a; b) функция y = f(x) имеет максимум или минимум в точке x0 ∈ (a; b), то в этой точке проведенная к графику функции касательная параллельна оси абсцисс, другими словами,
Следовательно,
дифференцируемая на некотором интервале функция y = f (x) может иметь экстремум только в такой точке, в которой ее производная равна нулю.
В то же время на рисунке 3.29, в видно, что не все такие точки, где производная равна нулю, являются точками экстремума.
Кроме того (см. рисунок 3.29, г, д),
непрерывная функция может иметь экстремум и в таких точках, где она не дифференцируема, т. е. не имеет производной.
Мы снова замечаем (рис. 2.29, е), что не все такие точки являются точками экстремума.
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, являются подозрительными на экстремум или критическими точками[понятие: Критические точки функции (funktsiooni kriitilised kohad) – точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Функция может имет экстремум только в критических точках, но в критической точке может и не быть экстремума.]. Такие точки нужно исследовать дополнительно. На рисунке 3.29 (а, б, г, д) функция имеет экстремум в таких точках, в которых возрастание функции сменяется ее убыванием или наоборот, убывание – возрастанием, другими словами, в таких точках производная функции изменяет свой знак.
Сформулируем правило нахождения точек экстремума.
Найдем все такие точки функции y = f (x), в которых функция непрерывна, а ее производная равна нулю или не существует.
Если в найденной точке производная меняет свой знак, то эта точка является точкой экстремума.
Если в точке экстремума возрастание функции сменяется ее убыванием, то данная точка является точкой максимума, в противном случае это – точка минимума. Если же при переходе через найденную точку знак производной не изменяется, то в этой точке функция не имеет экстремума.
Пример 1.
Найдем экстремумы функции
Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой, значит она может иметь экстремумы только в тех точках, в которых ее производная равна нулю;
и уравнение
 Рис. 3.30 | ||||||
Изобразим схематически изменение знака производной (рис. 3.30). В точке
Найдем экстремумы функции, т. е. ее значения
Ответ: в точке
Пример 2.
Закончим решение задачи 598.
Требуется найти наибольшее значение функции
Поскольку в точке х = 50 производная меняет знак с «+» на «–», то своего наибольшего значения функция достигает при х = 50, эта точка является точкой максимума.
Ответ: участок будет в виде квадрата со стороной 50 м.
Упражнения
Ответ: если ехать со скоростью
Ответ: эпидемия достигнет апогея на сутки. В этот день заболеет % жителей.
Спрос на некий товар описывается формулой
На который день спрос на этот товар достигнет максимума и каков будет этот спрос?
Ответ: спрос на этот товар достигнет максимума на день и этот спрос составит .
Точка движется прямолинейно по закону
- Сравните эту скорость со скоростью в момент t = 4 и в момент t = 10.
Ответ: скорость движения будет наибольшей, если t = . - Какая из этих трех величин является наибольшей?
y = ln x, x > 0
Ответ: a =
Ответ: a ∈
