Konspekt trigono­meetria

Seotud sisu
Muud tegevused

Nurkade teisendamine

Täispöördest absoluutväärtuselt suuremate nurkade teisendamine

Nurk

360° ⋅ k + α 

on nurgaga α samas veerandis k ∈ ℤ.

Seos kraadi- ja radiaanmõõdu vahel

180° = π rad

Seotud sisu
Muud tegevused

Täisnurkne kolmnurk

Seosed täisnurkses kolmnurgas

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{\mathrm{vastaskaatet}}{\mathrm{hüpotenuus}}=\frac{a}{c}

\cos\mathrm{\alpha}=\frac{\mathrm{lähiskaatet}}{\mathrm{hüpotenuus}}=\frac{b}{c}

\tan\mathrm{\alpha}=\frac{\mathrm{vastaskaatet}}{\mathrm{lähiskaatet}}=\frac{a}{b}

\cot\mathrm{\alpha}=\frac{\mathrm{lähiskaatet}}{\mathrm{vastaskaatet}}=\frac{b}{a}

a2 + b2 = c2

Täiendusnurga trigonomeetrilised seosed

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

\tan\left(90\degree-\mathrm{\alpha}\right)=\cot\mathrm{\alpha}=\frac{1}{\tan\mathrm{\alpha}}

Seotud sisu
Muud tegevused

Funktsioonid

Siinus

Nurga siinuseks nimetatakse nurga lõpphaara punkti ordinaadi ja ühikringjoone raadiuse suhet.

Koosinus

Nurga koosinuseks nimetatakse nurga lõpphaara punkti abstsissi ja ühikringjoone raadiuse suhet.

Tangens

Nurga tangensiks nimetatakse nurga lõpphaara punkti ordinaadi ja abstsissi suhet.

Kootangens

Nurga kootangensiks nimetatakse nurga lõpphaara punkti abstsissi ja ordinaadi suhet.

Seotud sisu
Muud tegevused

Nurga trigonomeetrilised funktsioonid

\sin\mathrm{\varphi}=\sin\mathrm{\mathrm{\alpha}}=\frac{y}{r}

\cos\mathrm{\varphi}=\cos\mathrm{\alpha}=\frac{x}{r}

\tan\mathrm{\varphi}=\tan\mathrm{\alpha}=\frac{y}{x}

\cot\mathrm{\varphi}=\cot\mathrm{\alpha}=\frac{x}{y}

Pane tähele, et nurk φ ei ole enam teravnurk.

NB! Tangensi ja kootangensi puhul ei tohi nimetaja võrduda nulliga!

Kuna defineerisime funktsioonid lõpphaara järgi, siis kehtivad järgmised võrdused:

\sin\mathrm{\varphi}=\sin\left(\mathrm{\varphi}-360\degree\right)=\sin\left(\mathrm{\varphi}-2\pi\right)

\cos\mathrm{\varphi}=\cos\left(\mathrm{\varphi}-360\degree\right)=\cos\left(\mathrm{\varphi}-2\pi\right)

\tan\mathrm{\varphi}=\tan\left(\mathrm{\varphi}-360\degree\right)=\tan\left(\mathrm{\varphi}-2\pi\right)

\cot\mathrm{\varphi}=\cot\left(\mathrm{\varphi}-360\degree\right)=\cot\left(\mathrm{\varphi}-2\pi\right)

Siinuse väärtus on positiivne I ja II veerandis ning negatiivne III ja IV veerandis.

Koosinuse väärtus on positiivne I ja IV veerandis ning negatiivne II ja III veerandis.

Tangensi ja kootangensi väärtused on positiivsed I ja III veerandis ning negatiivsed II ja IV veerandis.

Seotud sisu
Muud tegevused

Trigonomeetrilised põhiseosed

\tan\mathrm{\mathrm{\alpha}}=\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}}

sin2 α + cos2 α = 1

1+\tan^2\mathrm{\alpha}=\frac{1}{\cos^2\mathrm{\alpha}}

\cot\mathrm{\alpha}=\frac{\cos\mathrm{\alpha}}{\sin\mathrm{\alpha}}

tan α ⋅ cot α = 1

1+\cot^2\mathrm{\alpha}=\frac{1}{\sin^2\mathrm{\alpha}}

Trigonomeetrilised funktsioonid võivad omandada järgmiseid väärtuseid:

–1 ≤ sin φ ≤ 1

–1 ≤ cos φ ≤ 1

tan φ, cot φ ∈ ℝ

Seotud sisu
Muud tegevused

Funktsiooni uurimine

y = sin (x)

  • T = 360° = 2π
  • X = ℝ (n ∈ ℤ)
  • Y = [–1; 1] 
  • X0 = {x | x = n · 180° = nπ}, (n ∈ ℤ)

y = cos (x)

  • T = 360° = 2π
  • X = ℝ (n ∈ ℤ)
  • Y = [–1; 1] 
  • X0 = {x | x = n · 180° = nπ}, (n ∈ ℤ)

y = tan (x)

  • T = 180° = π
  • X = ℝ \ {n · 180° + 90°} (n ∈ ℤ)
    ​X=\mathbb{R}\setminus\left\{n\mathrm{\pi+\frac{\mathrm{\pi}}{2}}\right\}
  • Y = ℝ
  • X0 = {x | x = n · 180° = nπ}, (n ∈ ℤ)

y = cot (x)

  • T = 180° = π
  • X = ℝ \ {n · 180°}
    X = ​ℝ \ {nπ}
  • Y = n · 180° = nπ
  • X0 = {x | x = n · 180° + 90°}, (n ∈ ℤ)​X^0=\left\{x\ |\ x=n\mathrm{\pi}+\mathrm{\frac{\pi}{2}}\right\}

Graafikud lõigul [–360°; 360°] ([–2π; 2π])

Siinus- ja koosinus­­funktsiooni graafikud
Tangens- ja kootangens­­funktsiooni graafikud
Seotud sisu
Muud tegevused

Kahe nurga summa ja vahe trigono­meetrilised funktsioonid

\sin\left(\mathrm{\alpha}\pm\mathrm{\beta}\right)=\sin\mathrm{\alpha}\cdot\cos\mathrm{\beta}\pm\cos\mathrm{\alpha}\cdot\sin\mathrm{\beta}

\cos\left(\mathrm{\alpha}\pm\mathrm{\beta}\right)=\cos n\left(\mathrm{\alpha}\right)\cdot\cos\mathrm{\beta}\mp\sin\mathrm{\alpha}\cdot\sin\mathrm{\beta}

\tan\left(\mathrm{\alpha}\pm\mathrm{\beta}\right)=\frac{\tan\mathrm{\alpha}\pm\tan\mathrm{\beta}}{1\mp\tan\mathrm{\alpha}\cdot\tan\mathrm{\beta}}

Kui kuskil esineb märk ±, siis samas valemis tähistab ∓ plussi asemel miinust ja vastupidi.

Seotud sisu
Muud tegevused

Kahekordse nurga trigono­meetrilised funktsioonid

\sin2\mathrm{\alpha}=2\cdot\sin\mathrm{\alpha}\cdot\cos\mathrm{\alpha}

\cos2\mathrm{\alpha}=\cos^2\mathrm{\alpha}-\sin^2\mathrm{\alpha}

\tan2\mathrm{\alpha}=\frac{2\cdot\tan\mathrm{\alpha}}{1-\tan^2\mathrm{\alpha}}

Seotud sisu
Muud tegevused