Konspekt. Planimeetria

Seotud sisu
Muud tegevused

Siinusteoreem. Koosinusteoreem

Kui sa pole kindel, et kolmnurk on täisnurkne, siis kasuta siinus- ja koosinusteoreemi, sest need kehtivad kõikides kolmnurkades. Pythagorase teoreem ja teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid kehtivad ainult täisnurkses kolmnurgas.

Siinusteoreem

\frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{b}{\sin\mathrm{\beta}}=\frac{c}{\sin\mathrm{\gamma}}=2R

Koosinusteoreem

a2 = b2 + c2 – 2bc ⋅ cos α

b2 = a2 + c2 – 2ac ⋅ cos β

c2 = a2 + b2 – 2ab ⋅ cos γ

Seotud sisu
Muud tegevused

Kolmnurga pindala

S=\frac{ah}{2}

S=\frac{ab\cdot\sin\mathrm{\gamma}}{2}

S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}

S = pr

S=\frac{a^2\cdot\sin\mathrm{\beta}\cdot\sin\mathrm{\gamma}}{2\cdot\sin\mathrm{\alpha}}

S=\frac{abc}{4R}

  • a, b, c kolmnurhga küljed
  • h küljele a tõmmatud kõrgus
  • r sise­ringjoone raadius
  • R ümber­ringjoone raadius
  • p pool ümber­mõõtu
  • Nurgad α, β, γ on vastavalt külgede a, b, c vastas­nurgad.
Seotud sisu
Muud tegevused

Mediaan ja kesklõik

Mediaan ja selle omadused

  • Mediaaniks ehk küljepoolitajaks nimetatakse kolmnurga tipust vastas­külje keskpunkti tõmmatud lõiku.
  • Kolmnurga kõik kolm mediaani lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse kolmnurga raskus­keskmeks.
  • Mediaanide lõikepunkt jaotab iga mediaani kaheks osaks, mis suhtuvad nagu 2 : 1, st tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.
  • Iga mediaan jaotab kolmnurga kaheks võrdpindseks kolmnurgaks.

Kesklõik

  • Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse kolmnurga kahe külje keskpunkte ühendavat lõiku.
  • Kolmnurga kesklõik on paralleelne ühe küljega ja on võrdne poolega selle külje pikkusest.
  • Kolmnurga kesklõigud jaotavad kolmnurga neljaks võrdseks kolmnurgaks.

Nurgapoolitaja omadus

  • Kolmnurga sisenurga poolitajaks nimetatakse sirget, mis jaotab alates tipust kolmnurga sisenurga kaheks võrdseks osaks.

2φ = α

  • Kolmnurga nurgapoolitaja jaotab vastaskülje osadeks c ja d, mis suhtuvad nagu lähisküljed a ja b:

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

Mediaanid
Kesklõigud
Nurgapoolitajad
Seotud sisu
Muud tegevused

Rööpkülik

S = a ⋅ h

S = a ⋅ b ⋅ sin φ

P = 2 (a + b)

d12 + d22 = 2 (a2 + b2)

  • a, b küljed
  • h kõrgus
  • sin φ rööp­küliku nurga siinus
  • d1, d2 diagonaalid
Seotud sisu
Muud tegevused

Romb

Sromb = a ⋅ h

S_{\mathrm{romb}}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}

S_{\mathrm{romb}}=a^2\cdot\sin\mathrm{\varphi}

Promb = 4a

  • a külg
  • h kõrgus
  • d1, d2 diagonaalid
  • sin φ rombi nurga siinus

Romb on rööpkülik, mille küljed on võrdsed.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ruut

S = a2

S=\frac{d^2}{2}

P = 4a

  • a ruudu külg
  • d ruudu diagonaal

Ruut on rööpküliku, ristküliku ja rombi erijuht.

Seotud sisu
Muud tegevused

Trapets

S=\frac{a+b}{2}\cdot h

S = k ⋅ h

P = a + b + c + d

  • a, b trapetsi alused
  • h kõrgus
  • k kesklõik (aluste poolsumma)
  • c, d trapetsi haarad
Seotud sisu
Muud tegevused

Hulknurk

Sisenurkade summa ja diagonaalide arv

Sn = (n – 2) ⋅ 180°

d_n=\frac{n\left(n-3\right)}{2}

  • n nurkade arv

Kuna korrapärasel hulknurgal on kõik nurgad võrdsed, siis saame leida ka ühe nurga suuruse jagades sisenurkade summa tippude (külgede) arvuga.

Korrapärane n-nurk

S=n\cdot\frac{a\cdot r}{2}

S=n\cdot\frac{R\cdot a\cdot\sin\mathrm{\varphi}}{2}

P = na

  • a hulknurga külg
  • n nurkade arv
  • r hulknurga apoteem ehk siseringjoone raadius
  • sin φ võrdhaarse kolmnurga alusnurga siinus

NB! Pindala arvutamisel leia kõigepealt ühe võrdhaarse kolmnurga pindala ja siis korruta see nurkade arvuga.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ring

Ringi pindala ja ümbermõõt

S = πr2

C = 2πr

d = 2r

  • S pindala
  • C ringi ümbermõõt või ringjoone pikkus
  • r raadius
  • d diameeter
Kaare pikkus ja sektori pindala

l = r ⋅ φ

S=\frac{l\cdot r}{2}=\frac{\mathrm{\varphi}\cdot r^2}{2}

  • l kaare pikkus
  • r ringi raadius
  • φ kesknurk radiaanides
Seotud sisu
Muud tegevused

Nurgad ringis

Kesknurk

Kesknurgaks nimetatakse nurka, mille tipp on ringjoone keskpunktis ja haarad toetuvad ringjoonele. Kesknurk on võrdne kaarega (kaarekraadides), millele ta toetub.

Piirdenurk

Piirdenurgaks nimetatakse nurka, mille tipp on ringjoonel ja haarad toetuvad ringjoonele. Piirdenurk on võrdne poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast.

Thalese teoreemi kohaselt on diameetrile toetuv piirdenurk täisnurk.

Haardenurk

Ringjoone puutuja on puutepunktis raadiusega risti.

Puutujatevahelist nurka nimetatakse ka haardenurgaks.

Seotud sisu
Muud tegevused