Siirry pääsisältöön Päävalikko

Ratsionaalarvulise astendajaga aste

Astendamine murrulise astendajaga

Lisää aiheesta

Murdarv astendajaks

Astendamine

Tuletame meelde,

et täisarvulise astendaja korral kehtivad järgmised seosed.

$a^{n} = \underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a} n tegurit$

n ∈ $ℕ,$ n ≥ 2

a¹ = a

a⁰ = 1

a^–n = $\frac{1}{a^{n}},$
a ≠ 0, n ∈ $ℕ$

Eespool nägime,

et mittenegatiivse aluse a korral kehtib võrdus

$\sqrt[n]{a^{n}} = a = a^{1}$

ja üldisemalt

$\sqrt[n]{a^{k n}} = a^{k}$ .

Seega, kui võtta n-s juur, väheneb astendaja n korda, st astendaja jagatakse n-ga. Jagamine n-ga on aga samaväärne korrutamisega murdarvuga $\frac{1}{n} .$

$\frac{n}{n} = n \cdot \frac{1}{n} = 1$
ja
$\frac{k n}{n} = k n \cdot \frac{1}{n} = k$

Teame,

et astet astendades astendajad korrutatakse. Eeldades, et on olemas murdarvulise astendajaga $\frac{1}{n}$ aste, saame

${(a^{n})}^{\frac{1}{n}} = a^{n \cdot \frac{1}{n}} = a$ ,

${(a^{k n})}^{\frac{1}{n}} = a^{k n \cdot \frac{1}{n}} = a^{k}$

Saime samad tulemused nagu n-nda juure võtmisel.

Järelikult võib astendajaks olla ka murdarv.

n-ndat järku juur

n-ndat järku juurt võib vaadelda astmena, kus astendajaks on murdarv $\frac{1}{n} .$

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ , n ∈ $ℕ,$ n ≥ 2

Märka

Tõstame võrduse $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ pooled astmesse m.

${(\sqrt[n]{a})}^{m} = {(a^{\frac{1}{n}})}^{m},$ siis
$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} .$

Ratsionaalarvulise astendajaga aste

Ratsionaalarvulise astendajaga aste avaldub aluse m-nda astme ja n-nda juure kaudu

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}},$ kui

a > 0, m ∈ $ℤ,$ n ∈ $ℕ,$ n ≥ 2 või
a < 0, m ∈ $ℤ,$ n = 2k + 1, k ∈ $ℕ .$

$0^{\frac{m}{n}} = 0$ , kui $\frac{m}{n} > 0 .$

Näited

Juurte teisendamine astmeteks

$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$
$\sqrt[5]{25} = \sqrt[5]{5^{2}} = 5^{\frac{2}{5}}$
$\sqrt{\frac{1}{7}} = {(\frac{1}{7})}^{\frac{1}{2}} = 7^{- \frac{1}{2}}$
${(- 4)}^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{{(- 4)}^{2}} = \sqrt[3]{16}$
$27^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{27})}^{2} = 3^{2} = 9$
$32^{0,6} = {(2^{5})}^{0,6} = 2^{3} = 8$

Astendamise reeglid

jäävad kehtima ka ratsionaalarvuliste astendajate korral.

Olgu $m = \frac{p}{q}, n = \frac{r}{s},$ siis

$a^{\frac{p}{q}} \cdot a^{\frac{r}{s}} = a^{m} \cdot a^{n} =$ $a^{m + n} = a^{\frac{p}{q} + \frac{r}{s}} .$

Korrutamise näide:

$x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}} =$ $x^{\frac{17}{12}} = \sqrt[12]{x^{17}}$

Jagamise näide:

$x^{\frac{2}{3}} : x^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{2}{3} - \frac{3}{4}} =$ $x^{- \frac{1}{12}} = \sqrt[12]{x^{- 1}}$

Peastarvutamise meistriklass

49^0,5 =
121^0,5 =
361^0,5 =
0,16^0,5 =
0,0625^0,5 =

$81^{\frac{1}{2}} =$
$324^{\frac{1}{2}} =$
${0,01}^{\frac{1}{2}} =$
${2,25}^{\frac{1}{2}} =$
${0,0196}^{\frac{1}{2}} =$

$8^{\frac{1}{3}} =$
$64^{\frac{1}{3}} =$
$216^{\frac{1}{3}} =$
${0,027}^{\frac{1}{3}} =$
${0,343}^{\frac{1}{3}} =$

Lisää aiheesta

Harjuta ja treeni

${(\frac{1}{125})}^{\frac{1}{3}} =$ $\frac{}{}$
${(\frac{64}{729})}^{\frac{1}{3}} =$ $\frac{}{}$
${(1 \frac{17}{64})}^{0,5} =$ $\frac{}{}$
${(1 \frac{32}{49})}^{0,5} =$ $\frac{}{}$
${(3 \frac{3}{8})}^{\frac{1}{3}} =$ $\frac{}{}$

$16^{1,5} - {(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} + {(- 64)}^{\frac{1}{3}} + {0,81}^{\frac{1}{2}} - 4^{- 0,5} =$
$= {(4^{})}^{1,5} - {(\frac{}{4})}^{\frac{1}{2}} - + {-2}^{} =$
$= 4^{} - - 3,1 - =$
$=$

Lisää aiheesta

Valemid

Lisää aiheesta

Lisää materiaali

×

Valitse tiedostot, jotka haluat lisätä. Tuetut formaatit ovat txt, html, htm, pdf, odt, odp, ods, xls, xlsx, ppt, pptx, pps, doc, docx, rtf, png, jpg, jpeg ja gif.

× Virhe. Yritä uudelleen.

× Lataan. Odota.

× Onnistui

Odota