Tehted juurtega

Reaalarvude hulgas kehtivad laused
Korrutise juurimine
Jagatise juurimine
Juure juurimine
Juure astendamine
Juure teisendamine
Teguri viimine juuremärgi alla

Seotud sisu

Reaalarvude hulgas kehtivad laused

Lause 1

Igal mittenegatiivsel arvul on parajasti üks n-is juur.

Näide

$\sqrt{49} = 7,$ sest 7² = 49

Kuigi ka (–7)² = 49, on kokku lepitud, et juure väärtus on paarisarvulise juurija korral mittenegatiivne.

Veel näiteid

$\sqrt[5]{32} = 2$ , sest 2⁵ = 32
$\sqrt[18]{0} = 0$ , sest 0¹⁸ = 0
$\sqrt[2019]{1} = 1$ , sest 1²⁰¹⁹ = 1

1,73
1,52
1,41
1,64

$\sqrt{3} \approx$
$\sqrt{2} \approx$

Lause 2

Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurĳaga juurt.

Näide

$\sqrt{- 49} \neq - 7$
ega ka
$\sqrt{- 49} \neq 7$

Selgitused

Olgu $\sqrt[]{- 25} = x$ .

Sel juhul peaks kehtima võrdus

x² = –25

Reaalarvude hulgas aga ei leidu sellist arvu, mille ruut oleks negatiivne.

puudub
–4
–2
4
2

$\sqrt[4]{- 16} =$
$- \sqrt[4]{16} =$
$- \sqrt{16} =$
$\sqrt{- 16} =$

Lause 3

Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurĳaga juur, mis on negatiivne.

Näide

$\sqrt[3]{- 27} = -3,$ sest (–3)³ = –27

Näited

$\sqrt[101]{- 1} = - 1$ , sest (–1)¹⁰¹ = –1
$\sqrt[5]{- 32} = - 2$ , sest (–2)⁵ = –32
$\sqrt[7]{- 7} \approx - 1,32$ , sest (–1,32)⁷ ≈ –7

–1,44
–1,38
puudub

$\sqrt[3]{- 3} \approx$
$\sqrt[5]{- 5} \approx$

Seotud sisu

Korrutise juurimine

Reegel

Juur korrutisest võrdub tegurite juurte korrutisega.

$\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

Tõestus

$\sqrt[n]{a b} = {(a b)}^{\frac{1}{n}} =$ $a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} ∎$

Üldistus

$\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{k}} =$ $\sqrt[n]{a_{1}} \cdot \sqrt[n]{a_{2}} \cdot ... \cdot \sqrt[n]{a_{k}}$

Märka

Kui ei ole eeldatud, et muutujad on mittenegatiivsed, siis tuleb paarisarvulise juurĳa korral kasutada absoluutväärtust.

$\sqrt{a^{2}} = |a|$

Näited

Kahe teguriga ruutjuur

$\sqrt{144} = \sqrt{9 \cdot 16} =$ $\sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12$
$\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} =$ $\sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5 \sqrt{5}$

Kolmas ja neljas juur

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} =$ $\sqrt[3]{27 \cdot} \sqrt[3]{2} = 3 \sqrt[3]{2}$
$\sqrt[4]{16 x^{4}} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{x^{4}} = 2 |x|$

Kolme teguriga ruutjuur

$\sqrt{108} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 3} =$ $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} =$ $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$
$\sqrt[3]{0,128} = \sqrt[3]{64 \cdot 2 \cdot 0,001} =$ $\sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{0,001} =$ $4 \cdot 0,1 \cdot \sqrt[3]{2} = 0,4 \sqrt[3]{2}$

Muutujate juurimine

$\sqrt{8 a^{2} b} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot a^{2} \cdot b} =$ $\sqrt{4} \cdot \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{2 b} = 2 |a| \sqrt{2 b}$
$\sqrt[3]{54 x^{3} y^{4}} =$ $\sqrt[3]{27 \cdot 2 \cdot x^{3} \cdot y^{3} \cdot y} =$ $\sqrt[3]{27 \cdot x^{3} \cdot y^{3}} \cdot \sqrt[3]{2 y} =$ $3 x y \sqrt[3]{2 y}$

$\sqrt{25 \cdot 64} =$
$\sqrt{49 \cdot 121} =$
$\sqrt{36 \cdot 169} =$
$\sqrt{16 \cdot 81 \cdot 100} =$
$\sqrt{4 \cdot 144 \cdot 225} =$
$\sqrt{9 \cdot 49 \cdot 400} =$
$\sqrt[3]{8 \cdot 1000} =$
$\sqrt[3]{27 \cdot 125} =$
$\sqrt[3]{216 \cdot (- 64) \cdot 1000} =$

Seotud sisu

Jagatise juurimine

Juur murrust

Juur murrust võrdub murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega.

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Tõestus

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = {(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} =$ $\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} ∎$

Näited

Ruutjuur ratsionaalarvudest

$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$
$\sqrt{2 \frac{14}{25}} = \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5}$

Muutujate juurimine 1

$\sqrt[3]{4 x^{5} y^{2}} : \sqrt[3]{0,5 x^{2} y} =$ $\sqrt[3]{\frac{4 x^{5} y^{2}}{0,5 x^{2} y}} = 2 x \sqrt[3]{y}$

Muutujate juurimine 2

$\frac{\sqrt{2 u^{5} v^{3}}}{\sqrt{8 u v}} = \sqrt{\frac{2 u^{5} v^{3}}{8 u v}} =$ $\sqrt{\frac{1}{4} u^{4} v^{2}} = \frac{1}{2} u^{2} |v|$

Vastuses on muutuja v absoluutväärtus, sest v väärtus võib olla ka negatiivne.

$\sqrt{\frac{9}{25}} =$
$\sqrt{\frac{49}{81}} =$ $\frac{}{}$
$\sqrt{\frac{121}{225}} =$ $\frac{}{}$
$\sqrt[3]{\frac{27}{1000}} =$
$\sqrt[3]{- \frac{64}{125}} =$
$\sqrt[3]{\frac{8}{343}} =$ $\frac{}{}$

Seotud sisu

Juure juurimine

Juur juurest

Juure juurimisel juurĳad korrutatakse. Saadud korrutis ongi juureks, mis võetakse juuritavast.

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a}$

Tõestus

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = {(a^{\frac{1}{n}})}^{\frac{1}{m}} =$ $a^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m n]{a} ∎$

Märka

Juure juurimise reeglist järeldub, et kui antud juuritavast võetakse mitu juurt, võib neid juuri võtta mis tahes järjekorras, sest

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[m n]{a} .$

Näited

Juurte juurimine

$\sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt[4]{81} = 3$
$\sqrt[3]{\sqrt{3,1}} = \sqrt[6]{3,1}$

Muutujate juurimine

$\sqrt[5]{x^{2} \sqrt{x}} = \sqrt[5]{\sqrt{x^{4}} \sqrt{x}} =$ $\sqrt[5]{\sqrt{x^{5}}} = \sqrt{\sqrt[5]{x^{5}}} = \sqrt{x}$

Kasutame teisendust $x^{2} = \sqrt{x^{4}},$ et korrutada muutuja x astmed.

$\sqrt[3]{\sqrt{64}} =$
$\sqrt{\sqrt{256}} =$
$\sqrt{\sqrt{625}} =$
$\sqrt{\sqrt[3]{1 000 000}} =$
$\sqrt[3]{\sqrt[4]{4096}} =$

Seotud sisu

Juure astendamine

Juure astendamisel astendatakse juuritav ja tulemusest võetakse antud juur.

${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Tõestus

${(\sqrt[n]{a})}^{m} = {(a^{\frac{1}{n}})}^{m} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} ∎$

Näited

Näide 1

${(\sqrt{2})}^{3} = \sqrt{2^{3}} = \sqrt{8} =$ $\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \sqrt{2}$
$\sqrt[3]{125^{2}} = {(\sqrt[3]{125})}^{2} =$ $5^{2} = 25$
$\sqrt{2^{8}} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4} = 16$

Näide 2. Mitu tehet

${(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{2} = \frac{{(\sqrt[3]{4})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\sqrt[3]{16}}{4} =$ $\frac{\sqrt[3]{8 \cdot 2}}{4} = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Näide 3. Kaksliikme ruut

${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} =$ ${(\sqrt{a})}^{2} - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + {(\sqrt{b})}^{2} =$ $a - 2 \sqrt{a b} + b$

${(\sqrt{5})}^{10} =$
${(\sqrt{3})}^{8} =$
${(\sqrt[3]{7})}^{6} =$
${(\sqrt[5]{10})}^{15} =$
${(\sqrt[5]{2})}^{10} =$

Seotud sisu

Juure teisendamine

Juurija ja juuritava astendaja teisendamine

Juure väärtus mittenegatiivsest suurusest ei muutu, kui juurĳat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga.

${\sqrt[n]{a}}^{m} = \sqrt[n p]{a^{m p}}$

Tõestus

${\sqrt[n]{a}}^{m} = a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m p}{n p}} = \sqrt[n p]{a^{m p}} ∎$

Näited

Teisendame

täisarvu ruut-, kuup- ja neljandaks juureks

$2 = \sqrt{4} = \sqrt[3]{8} = \sqrt[4]{16},$

ruutjuure neljandaks, kuuendaks ja kümnendaks juureks

$\sqrt{3} = \sqrt[4]{3^{2}} = \sqrt[6]{3^{3}} = \sqrt[10]{3^{5}} .$

Lihtsustame

$\sqrt[3]{2 \sqrt{2}} = \sqrt[6]{{(2 \sqrt{2})}^{2}} =$ $\sqrt[6]{4 \cdot 2} = \sqrt[6]{2^{3}} = \sqrt{2}$

Korrutame juurijat ja juuritava astendajat kahega, et vabaneda ruutjuurest juure all.

$\sqrt[4]{3^{2}} = \sqrt{}$
$\sqrt[10]{5 \overset{}{}} = \sqrt{5}$
$\overset{}{} \sqrt[]{7^{3}} = \sqrt[5]{7}$
$\sqrt[8]{a \overset{}{}} = \sqrt[]{a}$
$\sqrt[12]{b \overset{}{}} = \sqrt[3]{b}$
$\sqrt[24]{m^{18}} = \sqrt[4]{m \overset{}{}}$

Seotud sisu

Teguri viimine juuremärgi alla

Tegur juure alla

Positiivse teguri saab viia juuremärgi alla, kui võtta selle astendajaks juurĳa väärtus.

$b \sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{b^{n} a} = \sqrt[n]{a b^{n}}, b > 0$

Tõestus

$\sqrt[n]{a b^{n}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b^{n}} =$ $\sqrt[n]{a} \cdot b = b \sqrt[n]{a} ∎$

Näited

Tegur juure alla

Viime teguri juure alla.

$4 \sqrt{3} = \sqrt{4^{2} \cdot 3} = \sqrt{48}$
$u \sqrt{u} = \sqrt{u^{2} \cdot u} = \sqrt{u^{3}}$

Lihtsustamine

Viime teguri ruutjuure alla ja lihtsustame.

$\sqrt[5]{x^{2} \sqrt{x}} = \sqrt[5]{\sqrt{x^{4} \cdot x}} =$ $\sqrt{\sqrt[5]{x^{5}}} = \sqrt{x}$

Jagaja juure alla

Viime jagaja juure alla ja lihtsustame avaldise.

$\frac{\sqrt{a^{2} + 1}}{a} = \frac{1}{a} \sqrt{a^{2} + 1} =$ $\sqrt{\frac{1}{a^{2}} (a^{2} + 1)} = \sqrt{1 + \frac{1}{a^{2}}}$

$5 \sqrt{7} =$ $\sqrt{}$
$3 \sqrt{3} =$ $\sqrt{}$
$6 \sqrt{5} =$ $\sqrt{}$
$2 \sqrt[3]{4} =$ $\sqrt[3]{}$
$0,2 \sqrt[4]{25} =$ $\sqrt[4]{}$
$- 4 \sqrt[5]{2} =$ $\sqrt[5]{}$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$\sqrt{4 a^{4} b^{6}} =$ $a \overset{}{} b \overset{}{}$
$\sqrt{25 m^{8} n^{4}} =$ $m \overset{}{} n \overset{}{}$
$\sqrt{196 p^{12} r^{22} s^{6}} =$ $p \overset{}{} r \overset{}{} s \overset{}{}$
$\sqrt[3]{27 a^{6} b^{12}} =$ $a \overset{}{} b \overset{}{}$
$\sqrt[3]{- 64 k^{15} m^{21}} =$ $k \overset{}{} m \overset{}{}$
$\sqrt[3]{t^{12} \cdot u^{30} \cdot v^{24}} =$ $t \overset{}{} u \overset{}{} v \overset{}{}$

$\sqrt[]{1 \frac{13}{36} x^{4} y^{- 6}}$ $\frac{7 x^{2}}{6 y^{3}}$
$\sqrt{\frac{16 a^{8} b^{2} c^{- 10}}{d^{4} f^{- 2}}}$ $\frac{4 a^{4} b f}{c^{5} d^{2}}$
$\sqrt{6,25 m^{2} n^{26}}$ $\frac{5 m}{2} n^{13}$
$\sqrt[3]{\frac{8 a^{9} b^{15}}{27 c^{3}}}$ $\frac{2 a^{3} b^{5}}{3 c^{0}}$
$\sqrt[3]{- \frac{m^{- 3} n^{12}}{125 p^{- 6}}}$ $- \frac{m^{- 1} n^{4}}{5 p^{- 2}}$
$\sqrt[3]{\frac{64 c^{18} d^{- 3}}{k^{24} l^{- 30}}}$ $\frac{4 c^{6}}{d k^{8} l^{- 10}}$
$\sqrt[5]{\frac{a^{- 10} b^{5}}{32}}$ $\frac{2 b}{a^{2}}$
$\sqrt[4]{\frac{c^{4} d^{- 8}}{81}}$ $\frac{c}{3 d^{2}}$
$\sqrt[7]{- \frac{m^{14}}{n^{35}}}$ $- m^{2} n^{- 5}$

Kujundi pindala ja ümbermõõt

Kui a = $\sqrt{3}$ ü, siis

P = ü ja
S = rü.

Kui a = $2 \sqrt{2}$ ü ja b = $5 \sqrt{2}$ ü, siis

P = ü ja
S = rü.

Kui a = $5 \sqrt{2}$ ü,
b = $8 \sqrt{2}$ ü,
h = $2 \sqrt{2}$ ü, siis

P = ü ja
S = rü.

Kui a = $5 \sqrt{7}$ ü ja h = $3 \sqrt{7}$ ü, siis

P = ü ja
S = rü.

Kui kaatetid on $4 \sqrt{11}$ cm ja $3 \sqrt{11}$ cm, siis

c = cm,
P = cm ja
S = cm².

Vihje

Kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga.

$\sqrt{8} =$ $\sqrt{2}$
$\sqrt{50} =$ $\sqrt{2}$
$\sqrt{80} =$ $\sqrt{5}$
$\sqrt{45} =$ $\sqrt{5}$
$\sqrt{147} =$ $\sqrt{3}$
$\sqrt{288} =$ $\sqrt{2}$
$\sqrt[3]{40} =$ $\sqrt[3]{5}$
$\sqrt[3]{250} =$ $\sqrt[3]{2}$

$a \sqrt{a} =$ $\sqrt{a \overset{}{}}$
$x^{2} \sqrt[3]{2 x} =$ $\sqrt[3]{\overset{}{}}$
$x \sqrt{\frac{3}{x}} =$ $\sqrt{}$
$(a + b) \cdot \sqrt[3]{a + b} =$ $\sqrt[3]{(a + b) \overset{}{}}$
$\frac{1}{12 a} \cdot \sqrt{288 a^{5}} =$ $\sqrt{\overset{}{}}$

$\sqrt[3]{- 16 a^{8} b^{- 5}} =$ $\frac{a \overset{}{}}{b} \sqrt[3]{2 a^{2} b \overset{}{}}$
$\sqrt[3]{c \overset{}{} d \overset{}{}} =$ $3 c d^{- 1} \sqrt[3]{2 c d^{- 2}}$
$\sqrt[3]{0,002 m \overset{}{} n \overset{}{} p^{- 19}} =$ $\frac{m^{2} n^{4}}{p \overset{}{}} \sqrt[3]{2 m n p^{- 1}}$

Seotud sisu

Valemid

$\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a}$
${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$
${\sqrt[n]{a}}^{m} = \sqrt[n p]{a^{m p}}$
$b \sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{b^{n} a} = \sqrt[n]{a b^{n}}, b > 0$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Tehted juurtega

Seotud sisu

Reaalarvude hulgas kehtivad laused

Lause 1

Näide

Veel näiteid

Lause 2

Näide

Selgitused

Lause 3

Näide

Näited

Seotud sisu

Korrutise juurimine

Korrutise juurimine

Reegel

Tõestus

Üldistus

Märka

Näited

Kahe teguriga ruutjuur

Kolmas ja neljas juur

Kolme teguriga ruutjuur

Muutujate juurimine

Seotud sisu

Jagatise juurimine

Juur murrust

Tõestus

Näited

Ruutjuur ratsionaalarvudest

Muutujate juurimine 1

Muutujate juurimine 2

Seotud sisu

Juure juurimine

Juur juurest

Tõestus

Märka

Näited

Juurte juurimine

Muutujate juurimine

Seotud sisu

Juure astendamine

Juure astendamine

Tõestus

Näited

Näide 1

Näide 2. Mitu tehet

Näide 3. Kaksliikme ruut

Seotud sisu

Juure teisendamine

Juurija ja juuritava astendaja teisendamine

Tõestus

Näited

Teisendame

Lihtsustame

Seotud sisu

Teguri viimine juuremärgi alla

Tegur juure alla

Tõestus

Näited

Tegur juure alla

Lihtsustamine

Jagaja juure alla

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Kujundi pindala ja ümbermõõt

Vihje

Seotud sisu

Valemid

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid