Juure mõiste

Astendamise üks pöördtehe, juurimine
Paaris ja paaritu juur

Seotud sisu

Juurimine

n-nda astme juur suurusest b või n-s juur suurusest b

Pöördtehe

Vaatleme astmeavaldist

aⁿ = b, n = $ℕ,$ n ≥ 2.

Astendamisel on kaks pöördtehet, mille puhul b antud väärtuse jaoks leitakse kas alus a või astendaja n nii, et

b = aⁿ.

Kui leitakse alus a (n on antud), siis on tegemist juurimisega. Teise pöördtehte korral on otsitavaks astendaja n. Seda käsitleme hiljem.

Juurimine on

astendamise pöördtehe, mis võimaldab antud suuruse b ja astendaja n jaoks leida sellise aluse a, mille korral

aⁿ = b.

Märka

Et iga positiivse täisarvulise n korral

0ⁿ = 0
ja
1ⁿ = 1,

siis juure definitsioonist järeldub, et

$\sqrt[n]{0} = 0$

$\sqrt[n]{1} = 1, n \geq 2 .$

Näited

Ruutjuur

$\sqrt{16} = 4$ , sest 4² = 16
$\sqrt{0,09} = 0,3$ , sest 0,3² = 0,09
$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ , sest ${(\frac{3}{5})}^{2} = \frac{9}{25}$
$\sqrt{- 9} =$ puudub, sest reaalarvu ruut ei saa olla negatiivne.

Kuupjuur

$\sqrt[3]{27} = 3$ , sest 3³ = 27
$\sqrt[3]{- 27} = - 3$ , sest (–3)³ = –27
$\sqrt[3]{0,001} = 0,1$ , sest 0,1³ = 0,001
$\sqrt[3]{- \frac{1}{8}} = - \frac{1}{2}$ , sest ${(- \frac{1}{2})}^{3} = - \frac{1}{8}$

Juurija suurem kolmest

$\sqrt[4]{625} = 5$ , sest 5⁴ = 625
$\sqrt[5]{- 32} = - 2$ , sest (–2)⁵ = –32
$\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2} = 0,5$ , sest 0,5⁶ = 0,015 625 = $\frac{1}{64}$
$\sqrt[10]{1024} = 2$ , sest 2¹⁰ = 1024

Negatiivsed kordajad

$- \sqrt[5]{- 32} = - 1 \cdot (- 2) = 2$
$- \sqrt[4]{81} = - 3$
$\sqrt[6]{{(- 8)}^{2}} = 2$
$\sqrt[6]{- 8^{2}} =$ puudub

Peastarvutamise meistriklass

$\sqrt{81} =$
$- \sqrt{121} =$
$\sqrt{289} =$
$\sqrt{1600} =$
$- \sqrt{49} =$
$\sqrt{441} =$

$\sqrt[3]{64} =$
$\sqrt[3]{- 1000} =$
$- \sqrt[3]{- 125} =$
$\sqrt[3]{0,008} =$
$- \sqrt[3]{0,027} =$
$- \sqrt[3]{- 1} =$

$\sqrt[4]{81} =$
$\sqrt[5]{243} =$
$\sqrt[6]{64} =$
$\sqrt[9]{512} =$
$\sqrt[7]{- 10 000 000} =$
$- \sqrt[8]{1} =$

Seotud sisu

Paaris ja paaritu juur

Paaris ja paaritu

Paarituarvuline juur

$\sqrt[2 k + 1]{a^{2 k + 1}} = a$

saab olla mis tahes reaalarv a.

Paarisarvuline juur

$\sqrt[2 k]{a^{2 k}} = |a|$

on alati mittenegatiivne arv.

k ∈ ℕ, k ≥ 1.

$ℕ,$

Paarisarvulise juurĳa

korral saab juuritav olla vaid mittenegatiivne arv või suurus. Tõepoolest, mis tahes reaalarv paarisarvulises astmes ei saa olla negatiivne.

Näiteks

$\sqrt{9} = 3$ , sest 3² = 9,
kuid ka (–3)² = 9.

Et juure väärtus oleks ühene, on kokku lepitud, et paarisarvulise juurĳa n = 2k korral on juur mittenegatiivne.

$\sqrt[2 k]{a} = b,$ kui b^2k = a,
a ≥ 0, b ≥ 0, k ∈ $ℕ,$ k ≥ 1.

Paarituarvulise juurĳa

n = 2k + 1

korral on juurel sama märk mis juuritaval, st

$\sqrt[2 k + 1]{a} = b,$ kui b^2k+1 = a,
k ∈ $ℕ,$ k ≥ 1.

Näiteks

$\sqrt[7]{- 128} = -2$ , sest (–2)⁷ = –128.

Juure definitsioonist

järeldub, et kui

$\sqrt[n]{b} = a$ , siis aⁿ = b.

Kui asendame b astmega aⁿ, saame võrduse

$\sqrt[n]{a^{n}} = a$ .

Paarituarvulise juurĳa korral on see võrdus õige nii positiivse kui ka negatiivse suuruse a korral.

Paarisarvulise juurĳa korral on aga aste aⁿ alati mittenegatiivne ja ka juur sellest mittenegatiivne.

Märka

Kui a on mittenegatiivne, siis

$\sqrt[n]{a^{k n}} = a^{k}$

${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$

Viimases võrduses võib a olla ka negatiivne, kui n on paaritu arv.

Näited

Näide 1

$\sqrt[4]{{(\sqrt{2} - 2)}^{4}} = |\sqrt{2} - 2| =$ $2 - \sqrt{2},$

sest $\sqrt{2} - 2 < 0 .$

Näide 2

$\sqrt{{(x - 2)}^{2}} = |x - 2|,$

sest pole teada, kas x > 2 või x < 2.

Näide 3

$\sqrt[3]{{(3 a - 5 b)}^{3}} = 3 a - 5 b,$

sest paaritu juure korral pole avaldise märk oluline.

Näide 4

$\sqrt[4]{{(u + v)}^{8}} = {(u + v)}^{2},$

sest vastus on alati mittenegatiivne.

Võrdle juuri

$\sqrt[3]{{(- 5)}^{3}} = - 5,$
aga
$\sqrt[4]{{(- 5)}^{4}} = 5 .$

$\sqrt{{(- 3)}^{2}} =$
$\sqrt{- 3^{2}} =$
$- \sqrt{{(- 3)}^{2}} =$
$- \sqrt[4]{{(- 6)}^{4}} =$
$\sqrt[4]{{(- 11)}^{4}} =$
$\sqrt[3]{{(- 4)}^{3}} =$
$- \sqrt[5]{{(- 5)}^{5}} =$
$\sqrt[9]{- 8^{9}} =$
$\sqrt[4]{{(- 2)}^{8}} =$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$\sqrt{c^{2}} =$ , kui c ≥ 0 ja
, kui c < 0.
$\sqrt[3]{a^{3}} =$ , kui a ≥ 0 ja
, kui a < 0.
$\sqrt[5]{- m^{5}} =$ , kui m ≥ 0 ja
, kui m < 0.
$- \sqrt[6]{{(- x)}^{6}} =$ , kui x ≥ 0 ja
, kui x < 0.

√3 − 1
1 − √3
2

$\sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} =$

√8 − 3
3 − √8
1

$\sqrt[4]{{(\sqrt{8} - 3)}^{4}} =$

√5 − 3
−√5 + 3
√5 + 3

$\sqrt[6]{{(\sqrt{5} - 3)}^{6}} =$

a − b
b − a
Ia − bI

$\sqrt{{(a - b)}^{2}} =$

m + b
−m − b
Im + bI

$\sqrt[4]{{(m + b)}^{4}} =$

m − b
b − m
Im − bI

$\sqrt[3]{{(m - b)}^{3}} =$

Seotud sisu

Valemid

0
1
a
a^ⁱ
a^ⁿ

$\sqrt[n]{a^{i n}} =$

$\sqrt[n]{0} =$

$\sqrt[n]{1} =$

${(\sqrt[n]{a})}^{n} =$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Juure mõiste

Seotud sisu

Juurimine

Pöördtehe

Juurimine on

Märka

Näited

Ruutjuur

Kuupjuur

Juurija suurem kolmest

Negatiivsed kordajad

Peastarvutamise meistriklass

Seotud sisu

Paaris ja paaritu juur

Paaris ja paaritu

Paarituarvuline juur

Paarisarvuline juur

Paarisarvulise juurĳa

Näiteks

Paarituarvulise juurĳa

Näiteks

Juure definitsioonist

Märka

Näited

Näide 1

Näide 2

Näide 3

Näide 4

Võrdle juuri

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Seotud sisu

Valemid

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid