Siinusteoreem

Kolmnurga pindala leidmine kahe külje ja nendevahelise nurga järgi
Siinusteoreemi tõestamine
Siinusteoreemi kasutamine kolmnurga puuduvate elementide leidmisel

Siinusteoreem

Siinusteoreem seob teadmised kolmnurga nurkadest ja küljepikkustest. Seega saab arvutada kolmnurga puuduva külje või nurga teiste külgede ja nurkade kaudu.

Olgu kolmnurga küljed a, b ja c, nende vastasnurgad on vastavalt α, β ja γ. Kehtib järgmine teoreem.

Märka

Siinusteoreemi järgi saame kolmnurki lahendada, kui on antud

kaks nurka ja üks külg või
kaks külge ja ühe külje vastasnurk.

Siinusteoreem

Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega.

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R,$

kus R on kolmnurga ümberringjoone raadius.

Siinusteoreem

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R,$

Eeldus
Kolmnurga ABC küljed on a, b ja c ning vastavad vastasnurgad α, β ja γ.

Väide
Kehtivad võrdused
$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R .$

Tõestus 1

Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu kolmel moel:

$S = \frac{1}{2} b c sin α = \frac{1}{2} a c sin β =$ $\frac{1}{2} a b sin γ$

Korrutame võrduse pooled kahega ja saame

$2 S = b c sin α = a c sin β = a b sin γ .$

Jagame võrduse pooled külgede korrutisega abc ning saame

$\frac{sin α}{a} = \frac{sin β}{b} = \frac{sin γ}{c} .$

Järelikult kehtivad võrdused ka pöördväärtuste jaoks:

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} .$

Tõestus 2

Joonestame kolmnurga ümber ringjoone ja selle diameetri BD = 2R tipust B.

Ühendame punkti D tipuga C. Siis samale kõõlule BC = a toetuvad piirdenurgad ∠BAC ja ∠BDC on võrdsed ja võrduvad nurgaga α.

Kolmnurk BCD on täisnurkne, sest diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. Kolmnurgas BCD on külje a vastas nurk α ning diameetri BD = 2R vastas täisnurk.

$\frac{a}{sin α} = \frac{2 R}{sin \frac{π}{2}} = \frac{2 R}{1} = 2 R .$ ■

Näide 1

Kolmnurga külg on 5 cm, selle vastasnurk 35° ja üks lähisnurkadest 65°. Leiame kolmnurga pikima külje kümnendiku täpsusega.

Olgu a = 5 cm, α = 35° ja β = 65°. Vastavalt siinusteoreemile asub pikim külg suurima nurga vastas. Kolmnurga kolmas nurk on

γ = 180° – α – β = 180° – 35° – 65° = 80°.

Järelikult on otsitav külg nurga γ vastas. Siinusteoreemi põhjal

$\frac{a}{sin α} = \frac{c}{sin γ} \Leftrightarrow$
$c = \frac{a \cdot sin γ}{sin α} = \frac{5 \cdot sin 80 °}{sin 35 °} \approx$
$\approx \frac{5 \cdot 0,9848}{0,5736} \approx 8,6 (cm).$

Vastus. Kolmnurga pikim külg on umbes 8,6 cm.

Näide 2

Kolmnurga üks külg on 7 m ning selle lähisnurgad 43° ja 32°. Leiame kolmnurga lühima külje kümnendiku täpsusega.

Olgu c = 7 m, α = 43° ja β = 32°. Kolmnurga kolmas nurk on

γ = 180° – 43° – 32° = 105°.

Lühima külje vastas on väikseim nurk, seega,

$\frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} \Leftrightarrow$
$b = \frac{c \cdot sin β}{sin γ} = \frac{7 \cdot sin 105 °}{sin 32 °} \approx$
$\approx \frac{7 \cdot 0,5299}{0,9659} \approx 3,8 (m).$

Vastus. Kolmnurga lühim külg on umbes 3,8 m.

Näide 3

Kolmnurga nurgad suhtuvad nagu 1 : 2 : 3. Leiame kolmnurga külgede suhte.

Leiame kolmnurga nurgad suhtest α : β : γ = 1 : 2 : 3.

Nurkade summale α + β + γ = π vastab suhte osade arv n = 1 + 2 + 3 = 6. Seega,

$\frac{α}{1} = \frac{π}{6} \Rightarrow α = \frac{π}{6},$
$\frac{β}{2} = \frac{π}{6} \Rightarrow β = \frac{π}{3},$
$\frac{γ}{3} = \frac{π}{6} \Rightarrow γ = \frac{π}{2} .$

Järelikult on kolmnurk täisnurkne. Siinusteoreemi järgi suhtuvad kolmnurga küljed nagu vastasnurkade siinused:

a : b : c = sin α : sin β : sin γ,

$a : b : c = sin \frac{π}{6} : sin \frac{π}{3} : sin \frac{π}{2} =$ $\frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1 .$

Suhe jääb samaks, kui selle kõiki osi korrutada või jagada sama arvuga. Seega,

$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2 .$

Vastus. Kolmnurga küljed suhtuvad nagu $1 : \sqrt{3} : 2 .$

Lisää aiheesta

Üks kolmnurk, kaks kolmnurka või kolmnurk puudub

Olgu kolmnurga küljed a, b ja c, nende vastasnurgad on vastavalt α, β ja γ. Kui antud on näiteks nurk α, selle vastaskülg a ning teine kolmnurga külg b, siis ei pruugi olla kohe aru saadav kas selliseid kolmnurki on üks või kaks või kolmnurka ei moodustugi.

Märka

Kaks lahendit. Antud nurga vastaskülg on kõrgusest pikem, aga teisest antud küljest lühem

Üks lahend. Antud nurga vastaskülg on suurem nii kõrgusest kui ka teisest antud küljest

Kolmnurk puudub. Antud nurga vastaskülg on kõrgusest lühem

α = 48°; a = 4; b = 5,
h ≈
a b ja a h
Lahendusi on
α = 27°; a = 3,5; b = 8,
h ≈
a b ja a h
Lahendusi on
α = 52°; a = 8; b = 7,
h ≈
a  b ja a  h
Lahendusi on
β = 12°; b = 3,5; c = 4,
h ≈
b  c ja b  h
Lahendusi on

Näide

Antud on nurk 41°, selle vastaskülg 11 ja teine kolmnurga külg 15. Leia kolmnurga nurgad.

h = 9,84, 11 > 9,84 ja 11 < 15 ⇒ kaks lahendust.

Lahendus

Siinusteoreemi põhjal

$\frac{11}{sin 41 °} = \frac{15}{sin β}$
$sin β = \frac{15 sin 41 °}{11}$
β ≈ 63,5°
γ = 180° – 63,5°– 41° = 75,5° teravnurkse kolmnurga korral
Kui aga kolmnurk osutub nürinurkseks, siis
β = 180° – 63,5°= 116,5°
γ = 180° – 116,5°– 41° = 22,5°