Квадратичные неравенства

Пример 1.

Мама собирается разбить прямоугольную цветочную клумбу. Заготовленных каменных плиток для ограждения клумбы хватит на 18 м. Каковы могут быть размеры клумбы, если ее площадь должна быть не менее 14 м2?

Пусть одна из сторон клумбы равна x м, тогда длина второй стороны должна быть не более (9 – x) м. По условиям задачи, x(9 – x) ≥ 14, или 9x – x2 ≥ 14, т. е. x2 – 9x + 14 ≤ 0. Мы получили квадратичное неравенство.

Квадратичным неравенством называется неравенство вида ax2 + bx + c > 0, где a ≠ 0.

Вместо знака > в этом неравенстве могут стоять также знаки ≥, <, ≤.

Чтобы научиться решать квадратичные неравенства, вспомним, прежде всего, какими свойствами обладает квадратичная функция.

Задание 483. Квадратичная функция
  1. Как называется график этой функции?
  2. От чего зависит направление ветвей графика?
  3. В каком случае этот график имеет две различные точки пересечения с осью Ох, в каком случае одну и в каком случае не пересекает ось Ох?

Обзор всех возможных расположений графика квадратичной функции y = ax2 + bx + c относительно оси абсцисс, в зависимости от значений дискриминанта D = b2 – 4ac и коэффициента a, приведен на рисунке 4.2.

Рис. 4.2
Задание 484. Графическое решение квадратичного неравенства
  1. При каких значениях x точки графика расположены ниже оси абсцисс? Выберите из полученного промежутка не менее трех различных значений x и найдите с помощью графика соответствующие значения y. К какому выводу Вы пришли? Проверьте свой вывод еще для каких-нибудь значений x из данного промежутка.
  2. При каких значениях x соответствующие точки графика расположены выше оси Оx? Исследуйте по образцу пункта 1, какие значения принимает функция в соответствующих промежутках.
  3. Что означает: решить графически неравенство x2 – 3x > 0?
  4. Что означает: решить графически неравенство x2 – 3x < 0?

Чтобы решить квадратичное неравенство ax2 + bx + c > 0 (< 0), действуют следующим образом:

  1. решают квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0;
  2. делают эскиз графика функции y = ax2 + bx + c;
  3. с помощью графика определяют множество точек, на котором функция положительна (отрицательна).

Пример 1 (прод.)

Решим полученное квадратичное неравенство x2 – 9x + 14 ≤ 0.

  1. Решим квадратное уравнение x2 – 9x + 14 = 0 и получим: x1 = 2, x2 = 7;
  2. Сделаем эскиз параболы y = x2 – 9x + 14 (рис. 4.3);
  3. С помощью чертежа определим, при каких значениях x квадратичная функция неположительна, т. е. y ≤ 0. В результате получим x ∈ [2; 7].

Ответ: в качестве длины стороны клумбы (в метрах) можно взять любое число x ∈ [2; 7], тогда длина другой стороны будет 9 – x метров.

Рис. 4.3

Пример 2.

Решим неравенство –16x2 + 24x – 9 > 0.

Получим:

–16x2 + 24x – 9 > 0 | ⋅ (–1) ⇔ 16x2 – 24x + 9 < 0

16x2 – 24x + 9 = 0

x1 = x2 = 0,75.

Ответ: неравенство не имеет решений (так как функция у = 16х2 – 24х + 9 не принимает отрицательных значений, см. рис. 4.4).

Рис. 4.4

Пример 3.

Решим неравенство (x + 1)(3 – 2x) > 0.

(x + 1)(3 – 2x) = 0

Получим:

x + 1 = 0 ⇔ x = –1

3 – 2x = 0 ⇔ x = 1,5.

Ответ: x ∈ (–1; 1,5)  (см. рис. 4.5).

Рис. 4.5

Пример 4.

Решим неравенство x2 ≥ 4.

Получим:

x2 ≥ 4 ⇔ x2 – 4 ≥ 0

x2 – 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2

Ответ: x ∈ (–∞; –2] ∪ [2; ∞)  (см. рис. 4.6).

Рис. 4.6
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Упражнения A

Задание 485. Графическое решение квадратичного неравенства

Задание 486. Решение квадратичных неравенств

x2 + 4x – 5 > 0

x2 + 4x + 5 < 0

x2 – 6x + 8 > 0

x2 – 6x – 8 < 0

4x2 + 13x – 12 < 0

4x2 + 3x + 1 > 0

–2x2 + 3x + 2 ≤ 0

5x2 + 7x + 1 ≤ 0

2(x – 1)(x + 1) > 5x – 4

16(x – 4)2 ≤ 256

–x2 – 4x – 1 > 0

4t2 + 12t + 9 < 0

5u2 – 2u + 10 > 0

5s2 – 6s + 10 < 0

Задание 487. Решение квадратичных неравенств

(x – 2)(x + 1) > 0

(x – 5)(x + 3) ≤ 0

(2x + 1)(x – 2) < 0

(2x – 3)(3x – 2) > 0

(x – 1)(3 – x) ≥ 0

(x + 3)(1 – 2x) < 0

(4x – 5)(1 – x) < 0

(5 – 8x)(4 – 2x) ≥ 0

Задание 488. Решение квадратичного неравенства

x2 – 4x + 4 > 0

x2 – 2x + 1 > 0

–9x2 + 6x – 1 < 0

–4x2 + 20x – 25 < 0

Задание 489. Решение квадратичных неравенств

x2 – 10x + 25 < 0

x2 + 2x > 6x – 15

x2 – 11x + 30 > 0

4x2 + 1 < 4x

3x2 ≥ 5x + 2

–x2 – 5x – 4 < 0

16x2 – 8x + 1 ≤ 0

x2 < 2x

x2 – 6 < 0

–9x2 + 24x – 16 ≥ 0

x2 + 1 > 0

(x + 1)(1 – x) ≤ 0

25 ≤ 4x2

(2x – 1)2 > 1

x2 ≤ 25

–x2 ≤ 3

x2 > 4x

x2 + 16 < 0

–x2 > 5x

x2 + 4x + 10 > 0

Задание 490. Решение квадратичных неравенств
  • x2 – 10x + 25 > 0
  • x2 + 3 ≤ 0
  • –5 + 4x – 3x2 > 0
  • –5x2 – 8x + 4 < 0
  • 3x2 ≤ 0
  • 9x ≤ x2
  • –x2 + 10x – 25 ≥ 0
  • x2 – 5 ≥ 0
  • 2(3x – 2)2 – 0,5 < 0
Задание 491. Когда произведение положительно (отрицательно)?
  1. ab > 0?
    Ответ: чтобы произведение было положительно, множители должны быть .
  2. ab < 0?
    Ответ: чтобы произведение было отрицательно, множители должны быть .
Задание 492. Решение квадратичных неравенств

(2x – 3)(1 – x) > 0

(x – 1)(x + 7) ≤ 0

x2 – 6x + 8 < 0

–x2 + 1 ≥ 0

6x2 + 11x + 3 ≥ 0

x2 – x < 0

Задание 493. Два положительных числа

Ответ: a ∈  и b ∈ .

Задание 494. Травяная полоса

Ответ: ширина полосы должна быть не более  м.

Задание 495. Помещение класса

Указание
Пусть длина помещения равна a, тогда ширина равна 16 – a. Покажите, что неравенство a(16 – a) > 64 не имеет решений.
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Упражнения Б

Задание 496. Решение системы квадратичных неравенств

(2x-3)(x+4)<05(x+1)-6≥0

Ответ:  .

x2-x>02(x-2)<10

Ответ:  .

x2+20≤9xx+1>0

Ответ: .

x2+x-6≤011x-9<15x+3

Ответ:  .

(6-x)(x+3)≥0x2-5x+6<0

Ответ:.

2x2+9x≤-72x2-5x-7≤0

Ответ: .

Задание 497. Планирование садового участка

Ответ: ширина участка должна быть больше  м, но меньше  м.

Задание 498. Каркас коробки

Ответ: одна сторона основания x ∈ . Тогда вторая сторона основания равна .

Задание 499. Значения параметра

Ответ:  .

Задание 500. Значения параметра

Ответ: .

Задание 501. Значения параметра

Ответ: .

Задание 502. Значения параметра

Ответ: .

Задание 503. Знак коэффициента c

Ответ: .

Указание
Рассмотрите значения квадратного трехчлена при х = 0 и при х = 1.
Lisää aiheesta
Muut toiminnot