Задание 504. Графическое решение линейных неравенств
- x – 2 < 0
- 2x + 3 ≥ 0
- –x + 1 > 0
- –2x + 4 < 0
Задание 505. Исследование графиков линейной и квадратичной функций
- Функция может изменять свой знак лишь в точках, являющихся нулями этой функции.
- Если в формуле функции коэффициент при наибольшей степени x положителен, то в точках, расположенных на оси абсцисс справа от наибольшего нуля функции, функция принимает положительные значения.
- Если в формуле функции коэффициент при наибольшей степени x отрицателен, то в точках, расположенных на оси абсцисс справа от наибольшего нуля функции, функция принимает отрицательные значения.
- Квадратичная функция не меняет знак в точке, являющейся ее так называемым двукратным нулем (т. е. если функция представляется в виде y = a(x – x0)2 = a(x – x0)(x – x0)).
Задание 506. Исследование функции y = (x – 1)2(x + 3)(x – 4)
Для этого исследуйте, какие значения принимает функция y = (x – 1)2(x + 3)(x – 4) в каждом из интервалов, на которые делят числовую ось нули этой функции. Результаты запишите в следующую таблицу, используя знаки «+» и «–».
Интервал | x < –3 | –3 < x < 1 | 1 < x < 4 | x > 4 |
(x – 1)2 | ||||
x + 3 | ||||
x – 4 | ||||
(x – 1)2(x + 3)(x – 4) |
Свойства функций, найденные в задачах 505 и 506, позволяют пользоваться при решении неравенств высших степеней так называемым методом интервалов.
Чтобы решить неравенство a(x – a1)(x – a2) … (x – an) > 0 (где a > 0) или неравенство с одним из знаков ≥, <, ≤, сначала отметим на числовой прямой нули соответствующей функции. Отмеченные точки разбивают числовую прямую на конечное число интервалов, в каждом из которых функция сохраняет свой знак «+» или «–». Проведем через нули функции вспомогательную кривую (так называемую линию знаков), начиная справа сверху. Эта кривая пересекает числовую ось в точке, являющейся нулем функции, если он имеет нечетную кратность, и не пересекает числовую ось (но касается ее), если он имеет четную кратность. С помощью полученного эскиза находим решения неравенства.
Решим методом интервалов следующие неравенства.
Пример 1.
(x – 1)(x + 2)(x – 5) > 0
Ответ: x ∈ (–2; 1) ∪ (5; ∞), или –2 < x < 1 ∨ x > 5.
Пример 2.
(x – 1)2(x + 3)(x – 4) < 0
Ответ: x ∈ (–3; 1) ∪ (1; 4), или –3 < x < 1 ∨ 1 < x > 4.
Пример 3.
x4(x + 1)3(x – 2)(x + 2)(x – 1) ≥ 0
Ответ: x ∈ (–∞; –2] ∪ [–1; 1] ∪ [2; ∞), или x ≤ –2 ∨ –1 ≤ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2.
Пример 4.
(3 – x)(x – 2)(x + 1)2 ≥ 0 | ⋅ (–1)
(x – 3)(x – 2)(x + 1)2 ≤ 0.
Ответ: x ∈ {–1} ∪ [2; 3], или x = –1 ∨ 2 ≤ x ≤ 3.
