Sündmuste korrutis ja summa

Näide 1.

Visatakse täringut. Olgu sündmus A paaris­arvu silmade tulek ja sündmus B vähemalt nelja silma tulek. Sündmuse A soodsad elementaar­sündmused on 2, 4 või 6 silma, sündmuse B korral aga 4, 5 või 6 silma. Kui täringu viskamisel tuleb kas 4 või 6 silma on toimunud sama­aegselt nii sündmus A kui ka sündmus B. Teiselt poolt võib aga sündmuste (kas 4 või 6 silma) kaudu defineerida kolmanda sündmuse C. Tähendab, sündmuste A ja B sama­aegne toimumine on jälle sündmus.

Kahe sündmuse A ja B sama­aegset toimumist võib vaadelda uue sündmusena C, mida nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks (joon. 1.6) ning kirjutatakse A ∩ B = C või AB = C.

Joon. 1.6

Üldiselt:

sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks.

Kui sündmustel A ja B (joon. 1.7) pole ühiseid soodsaid elementaar­sündmusi (näiteks sündmus A – paaris­arvu silmade tulek, sündmus B – paaritu arvu silmade tulek täringu viskamisel), siis nende sündmuste korrutis on võimatu sündmus (soodsate juhtude arv k = 0). Sümboleis: A ∩ B = V.

Joon. 1.7

Näide 2.

Kaardi­pakist, milles on 36 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Olgu sündmuseks A risti saamine ja sündmuseks B pildi saamine. Leiame sündmuste A ja B korrutise tõenäosuse.

Et sündmus AB tähendab risti­mastist pildi saamist, siis soodsaid juhte on 3: risti­soldat, risti­emand ja risti­kuningas. Otsitav tõenäosus P\left(AB\right)=\frac{3}{36}\approx0,08.

Kahte sündmust, mis ei saa sama katse tulemusena toimuda (s.t ei saa esineda ühe­aegselt), nimetatakse teine­teist välistavateks.

Näiteks täringu viskel ei saa ühe­aegselt tulla paaris­arv silmi (sündmus A) ja paaritu arv silmi (sündmus B). Need sündmused (joonis 1.7) on välistavad.

Näites 2 ei ole sündmused välistavad, need on mitte­välistavad.

Sündmus A ja selle vastand­sündmus \overline{A} on alati teine­teist välistavad, A\overline{A}=V.

Iga sündmuse kõigi juhtude hulgas {E1, E2, …, En} on elementaar­sündmused paari­kaupa välistavad. Lühemalt kirjutades EiEj = V, kui i ≠ j.

Kahe sündmuse summa defineeritakse järgmiselt:

sündmust, mis seisneb kas sündmuse A või sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B summaks.

Sündmuste A ja B summat tähistatakse A ∪ B või A + B.

Sündmuste summa toimumine seisneb kas sündmuse A või sündmuse B soodsate juhtude esile­tulekus.

Näide 3.

Olgu sündmus A ühe silma tulek ja sündmus B kuue silma tulek täringu viskamisel. Sündmuseks A + B on kas 1 või 6 silma tulek. Vastav tõenäosus P\left(A+B\right)=2\ :\ 6=\frac{1}{3}.

Näide 4.

Vaatleme näites 2 defineeritud sündmusi A ja B. Sündmuseks A + B on siis kas risti või pildi saamine. Kui tuleb risti­äss (ässa ei loeta pildiks) või näiteks ärtu­soldat, on sündmus A + B toimunud. See toimub aga ka siis, kui tuleb näiteks risti­emand, mis on üks soodsatest võimalustest korrutise AB toimumiseks (näide 2). Teisiti: käes­oleva näite korral toimub sündmus A + B ka siis, kui toimub sündmus AB.

Alati, kui sündmused pole välistavad (näide 4), tähendab sündmus A + B kas ainult sündmuse A või ainult sündmuse B või nende mõlema (s.o. korrutise AB) toimumist (joon. 1.8).

Joon. 1.8

Välistavate sündmuste korral (näide 3) tähendab sündmus A + B kas ainult sündmuse A või ainult sündmuse B toimumist (joon. 1.9).

Joon. 1.9

Kuna elementaar­sündmuste hulgast {E1, E2, …, En} tuleb iga katse korral kindlasti esile mingi elementaar­sündmus, siis

E1 + E2 + … + En = U.

Ka sündmuste A ja \overline{A} korral on

A+\overline{A}=U.

Defineeritakse ka sündmuste vahe:

sündmuste A ja B vaheks A \ B nimetatakse sündmust, mis seisneb sündmuse A toimumises ja sündmuse B mitte­toimumises.

Sündmuse A \ B soodsateks elementaar­sündmusteks on sündmuse A soodsad elementaar­sündmused, mis ei ole sündmuse B soodsad elementaar­sündmused (joon. 1.10).

Joon. 1.10

Näide 5.

Defineerides sündmused nii nagu näites 2, A – risti­mastist kaart, B – pilt­kaart, on sündmuseks A \ B risti­mastist mitte­pildi tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded A

Ülesanne 99. Täringu viskamine

AB

AP

\overline{K}

A\overline{K}

KP

B+P

B+L

\overline{L}

K+B

\overline{K}+\overline{L}

Ülesanne 100. Täringu viskamine
  • AB?
  • A+B?
Ülesanne 101. Juhusliku sündmuse korrutis ja summa kindla ning võimatu sündmusega

AU = 

AV = 

A + U = 

A + V = 

Ülesanne 102. Müntide viskamine

Millist tulemust tähendab sündmus

  • A + B?
  • B + C?
  • C + D?
  • AD?
  • CD?
Ülesanne 103. Täringu viskamine

p\left(A\right) = 

p\left(B\right) = 

p\left(K\right) = 

p\left(L\right) = 

p\left(P\right) = 

p\left(AB\right) = 

p\left(AP\right) = 

p\left(\overline{K}\right) = 

p\left(A\overline{K}\right) = 

p\left(KP\right) = 

p\left(B+P\right) = 

p\left(B+L\right) = 

p\left(\overline{L}\right) = 

p\left(K+B\right) = 

p\left(\overline{K}+\overline{L}\right) = 

Ülesanne 104. Müntide viskamine

P\left(A\right) = 

P\left(D\right) = 

P\left(C+D\right) = 

P\left(B\right) = 

P\left(A+B\right) = 

P\left(AD\right) = 

P\left(C\right) = 

P\left(B+C\right) = 

P\left(CD\right) = 

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded B

Ülesanne 105. Täringu viskamine

p\left(A\ \setminus\ P\right) = 

p\left(A\ \setminus\ K\right) = 

p\left(\overline{B}\right) = 

p\left(B\ \setminus\ K\right) = 

p\left(\overline{A}\ \setminus\ B\right) = 

Ülesanne 106. Sündmuste korrutise ja summa omadused

AB = BA

(AB)C = A(BC)

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A(B + C) = AB + AC

Lisää aiheesta
Muut toiminnot