Funktsiooni graafiku teisendused

Peatükis 2.13 vaadeldud astme­funktsioone on võimalik kasutada teiste, keerulisemate funktsioonide uurimisel ja graafikute joonestamisel. Vaatleme järgnevas mõningaid võimalusi.

1. GRAAFIKU PEEGELDUS TELGEDEST JA KOORDINAATIDE ALGUS­PUNKTIST

Kujundi peegelduseks sirgest s nimetatakse teisendust, mille puhul kujundi iga punkt A ja selle kujutis A' on sümmeetrilised sirge s suhtes, s.t AO = OA' ja AA' ⊥ s (joonis 2.48a).

Joon. 2.48a

Kujundi peegelduseks punktist O nimetatakse teisendust, mille korral kujundi iga punkt B ja selle kujutis B' on sümmeetrilised punkti O suhtes, s.t punktid B, O ja B' asuvad ühel sirgel ning BO = OB' (joonis 2.48b).

Joon. 2.48b

Punkti peegeldamisel y-teljest jääb punkti ordinaat y samaks, kuid punkti abstsissi märk muutub vastu­pidiseks (joonis 2.49a). Punkt A(–x; y) teiseneb punktiks A'(x; y).

Joon. 2.49a

Punkti peegeldamisel x-teljest jääb punkti abstsiss x samaks, kuid ordinaadi märk muutub vastu­pidiseks (joonis 2.49b). Punkt B(x; y) teiseneb punktiks B'(x; –y).

Joon. 2.49b

Järelikult saame funktsiooni y = f (x) graafiku peegeldamisel

  • x-teljest funktsiooni y = –f (x) graafiku ja
  • y-teljest funktsiooni y = f (–x) graafiku.

Punkti peegeldamisel koordinaatide algus­punktist muutuvad punkti mõlema koordinaadi märgid vastu­pidiseks (joonis 2.49c). Punkt C(x; y) teiseneb punktiks C'(–x; –y).

Joon. 2.49c

Järelikult saame funktsiooni y = f (x) graafiku peegeldamisel koordinaatide algus­punktist funktsiooni –y = f (–x) ehk funktsiooni y = –f (–x) graafiku.

Näide 1.

Peegeldame funktsiooni y = x2 – x graafikut koordinaat­telgedest ja koordinaatide algus­punktist.

Peegeldamisel y-teljest saame funktsiooni y = (–x)2 – (–x) = x2 + x (joonis 2.50a), peegeldamisel x-teljest funktsiooni y = –(x2 – x) = –x2 + x (joonis 2.50b) ja peegeldamisel koordinaatide algus­punktist funktsiooni –y = (–x)2 – (–x) ehk y = –x2 – x graafiku (joonis 2.50c).

Joon. 2.50

2. FUNKTSIOONI y = a f (x) GRAAFIK

Olgu antud funktsiooni y = f (x) graafik. Et joonestada funktsiooni y = a f (x) graafikut, tuleb funktsiooni y = f (x) graafiku iga punkti ordinaati korrutada arvuga a. Graafiku punkt A(x; y) teiseneb punktiks A'(x; ay). Kui a = –1, siis saame otsitava funktsiooni graafiku esi­algse funktsiooni graafiku peegeldusena x-teljest.

Näide 2.

Joonestame funktsioonide y=2\left(x^2-x\right), y=\frac{1}{2}\left(x^2-x\right) ja y=-2\left(x^2-x\right) graafikud, kasutades funktsiooni y = x2 – x graafikut.

Vastavate funktsioonide graafikud on esitatud joonisel 2.51.

Joon. 2.51

3. FUNKTSIOONI y = f (x) + a GRAAFIK

Antud juhul teiseneb funktsiooni graafiku iga punkt A(x; y) punktiks A'(x; y + a). See tähendab, et graafikut tuleb nihutada a ühikut üles­poole, kui a > 0 ja |a| ühikut alla­poole, kui a < 0 (joonis 2.52).

Joon. 2.52

4. FUNKTSIOONI y = f (x – a) GRAAFIK

Selle funktsiooni graafiku asendit uurige järgmise ülesande kaudu.

Ülesanne 474. Funktsiooni y = f (x – a) graafik
  1. Joonestage arvuti abil samasse teljestikku funktsioonide y = 2x2, y = 2(x – 3)2 ja y = 2(x +2)2 graafikud.
  2. Kuidas tuleks funktsiooni y = 2x2 graafikut teisendada, et saada funktsiooni y = 2(x – 3)2 graafik?
  3. Kuidas tuleks funktsiooni y = 2x2 graafikut teisendada, et saada funktsiooni y = 2(x + 2)2 graafik?

Funktsiooni y = f (x – a) graafiku saamiseks tuleb funktsiooni y = f (x) graafikut nihutada a ühikut paremale, kui a > 0, ja |a| ühikut vasakule, kui a < 0 (joonis 2.53).

Joon. 2.53

5. FUNKTSIOONI y = |f (x)| GRAAFIK

Meenutame, et arvu a absoluut­väärtus |a| on võrdne arvu a endaga, kui see arv on positiivne või 0, ning arvu vastand­arvuga –a, kui arv on negatiivne. Seega teiseneb antud juhul funktsiooni y = f (x) graafiku iga punkt A(x; y) punktiks A'(x; |y|). Vastavalt arvu absoluut­väärtuse definitsioonile tuleb y iga negatiivse väärtuse korral |y| leidmiseks võtta y vastand­arv. Selle tulemusena peegeldub graafiku all­pool x-telge asuv osa x-teljest, ülal­pool olev osa jääb samaks (joonis 2.54).

Joon. 2.54a
Joon. 2.54b
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded A

Ülesanne 475. Punkti peegeldamine
  1. x-teljest ja seejärel y-teljest.
    Vastus. See punkt on .
  2. y-teljest ja seejärel x-teljest.
    Vastus. See punkt on .
  3. koordinaatide algus­punktist.
    Vastus. See punkt on .

Mida järeldate? Kas tulemus kehtib iga punkti B(x; y) korral?

Ülesanne 476. Peegeldamine y-teljest

Antud funktsioon

Uus funktsioon

y=3x-1

y = 

y=-2x^2+4

y = 

y=x^2+3

y = 

Missugustel juhtudel saame peegeldamise tulemusena sama funktsiooni?

Antud funktsioon

Uus funktsioon

y=-x^2-x+6

y = 

y=x^3

y = 

y=x^4

y = 

Missugustel juhtudel saame peegeldamise tulemusena sama funktsiooni?

Ülesanne 477. Peegeldamine koordinaatide algus­punktist

Antud funktsioon

Uus funktsioon

y=5x

y = 

y=4-3x

y = 

y=x^2-2x+1

y = 

Missugustel juhtudel saame peegelduse tulemusena sama funktsiooni?

Antud funktsioon

Uus funktsioon

y=\left(x-3\right)^2+1

y = 

y=2x^3

y = 

y=x^4-5

y = 

Missugustel juhtudel saame peegelduse tulemusena sama funktsiooni?

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded B

Ülesanne 478. Funktsiooni graafiku teisendused

f (x – 2) =  = 

f (4x) =  = 

–2 f (x + 1) =  = 

f (2x) – 3 f (x – 1) =  = 

Ülesanne 479. Funktsiooni graafiku teisendused

Kasutades funktsiooni y = x3 graafikut, joonestage (arvutil) funktsiooni graafik.

y=x^3-1

y=\left(x+1\right)^3

y=2x^3

y=2x^3-3

y=-\left(x+2\right)^3

y=\left|x^3\right|

Ülesanne 480. Funktsiooni graafiku teisendused
Joon. 2.55
  1. y = 
  2. y = 
  3. y = 
  4. y = 
Ülesanne 481. Funktsiooni graafiku teisendused

y=\left(x-3\right)^4+1

Vastus. Sellel funktsioonil .

y=2x^3-3

Vastus. Sellel funktsioonil .

y=0,5\left(x-1\right)^5

Vastus. Sellel funktsioonil .

y=-4\left(x+2\right)^4-1

Vastus. Sellel funktsioonil .

y=-0,5\left(x+1\right)^3-0,5

Vastus. Sellel funktsioonil .

y=3\left(x-4\right)^6+2

Vastus. Sellel funktsioonil .

Ülesanne 482. Funktsiooni graafiku teisendused
  1. \left(x+1\right)^2>\left(x+1\right)^3
    Vastus. Kui x ∈ 
  2. \left(x+1\right)^2<\left(x+1\right)^3
    Vastus. Kui x ∈ 
  3. \left(x+1\right)^2=\left(x+1\right)^3
    Vastus. Kui x ∈ 
Lisää aiheesta
Muut toiminnot